y-8*x-21=0 8*y+x-68=0
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
y - 8*x - 21 = 0
$$- 8 x + y - 21 = 0$$
8*y + x - 68 = 0
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 8 x + y - 21 = 0$$
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$- 8 x + y - 21 = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- 8 x - 21 = - 8 x - - 8 x - y$$
$$- 8 x - 21 = - y$$
Перенесем свободное слагаемое -21 из левой части в правую со сменой знака
$$- 8 x = - y + 21$$
$$- 8 x = - y + 21$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{1}{-8} \left(-1 \cdot 8 x\right) = \frac{1}{-8} \left(- y + 21\right)$$
$$x = \frac{y}{8} - \frac{21}{8}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Получим:
$$8 y + \frac{y}{8} - \frac{21}{8} - 68 = 0$$
$$\frac{65 y}{8} - \frac{565}{8} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое -565/8 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{65 y}{8} = \frac{565}{8}$$
$$\frac{65 y}{8} = \frac{565}{8}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{65}{8} y}{\frac{65}{8}} = \frac{113}{13}$$
$$y = \frac{113}{13}$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{8} - \frac{21}{8}$$
то
$$x = - \frac{21}{8} + \frac{113}{104}$$
$$x = - \frac{20}{13}$$
Ответ:
$$x = - \frac{20}{13}$$
$$y = \frac{113}{13}$$
$$- 8 x + y - 21 = 0$$
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$- 8 x + y - 21 = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- 8 x - 21 = - 8 x - - 8 x - y$$
$$- 8 x - 21 = - y$$
Перенесем свободное слагаемое -21 из левой части в правую со сменой знака
$$- 8 x = - y + 21$$
$$- 8 x = - y + 21$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{1}{-8} \left(-1 \cdot 8 x\right) = \frac{1}{-8} \left(- y + 21\right)$$
$$x = \frac{y}{8} - \frac{21}{8}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Получим:
$$8 y + \frac{y}{8} - \frac{21}{8} - 68 = 0$$
$$\frac{65 y}{8} - \frac{565}{8} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое -565/8 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{65 y}{8} = \frac{565}{8}$$
$$\frac{65 y}{8} = \frac{565}{8}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{65}{8} y}{\frac{65}{8}} = \frac{113}{13}$$
$$y = \frac{113}{13}$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{8} - \frac{21}{8}$$
то
$$x = - \frac{21}{8} + \frac{113}{104}$$
$$x = - \frac{20}{13}$$
Ответ:
$$x = - \frac{20}{13}$$
$$y = \frac{113}{13}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = - \frac{20}{13}$$
=
$$- \frac{20}{13}$$
=
$$y_{1} = \frac{113}{13}$$
=
$$\frac{113}{13}$$
=
=
$$- \frac{20}{13}$$
=
-1.53846153846154
$$y_{1} = \frac{113}{13}$$
=
$$\frac{113}{13}$$
=
8.69230769230769
Метод Крамера
[TeX]
$$- 8 x + y - 21 = 0$$
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 8 x + y = 21$$
$$x + 8 y = 68$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 8 x_{1} + x_{2}\\x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}21\\68\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-8 & 1\\1 & 8\end{matrix}\right] \right )} = -65$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{65} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}21 & 1\\68 & 8\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{20}{13}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{65} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-8 & 21\\1 & 68\end{matrix}\right] \right )} = \frac{113}{13}$$
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 8 x + y = 21$$
$$x + 8 y = 68$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 8 x_{1} + x_{2}\\x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}21\\68\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-8 & 1\\1 & 8\end{matrix}\right] \right )} = -65$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{65} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}21 & 1\\68 & 8\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{20}{13}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{65} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-8 & 21\\1 & 68\end{matrix}\right] \right )} = \frac{113}{13}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 8 x + y - 21 = 0$$
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 8 x + y = 21$$
$$x + 8 y = 68$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\\1 & 8 & 68\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-8\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{8} + 8 & - \frac{-21}{8} + 68\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\\0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{65}{8}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-8 & 0 & - \frac{113}{13} + 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-8 & 0 & \frac{160}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-8 & 0 & \frac{160}{13}\\0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 8 x_{1} - \frac{160}{13} = 0$$
$$\frac{65 x_{2}}{8} - \frac{565}{8} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{20}{13}$$
$$x_{2} = \frac{113}{13}$$
$$- 8 x + y - 21 = 0$$
$$x + 8 y - 68 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 8 x + y = 21$$
$$x + 8 y = 68$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\\1 & 8 & 68\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-8\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{8} + 8 & - \frac{-21}{8} + 68\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\\0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{65}{8}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-8 & 0 & - \frac{113}{13} + 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-8 & 0 & \frac{160}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-8 & 0 & \frac{160}{13}\\0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 8 x_{1} - \frac{160}{13} = 0$$
$$\frac{65 x_{2}}{8} - \frac{565}{8} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{20}{13}$$
$$x_{2} = \frac{113}{13}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -1.538461538461538 y1 = 8.692307692307692