Дана система ур-ний $$- 8 x + y - 21 = 0$$ $$x + 8 y - 68 = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$- 8 x + y - 21 = 0$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$- 8 x - 21 = - 8 x - - 8 x - y$$ $$- 8 x - 21 = - y$$ Перенесем свободное слагаемое -21 из левой части в правую со сменой знака $$- 8 x = - y + 21$$ $$- 8 x = - y + 21$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{1}{-8} \left(-1 \cdot 8 x\right) = \frac{1}{-8} \left(- y + 21\right)$$ $$x = \frac{y}{8} - \frac{21}{8}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$x + 8 y - 68 = 0$$ Получим: $$8 y + \frac{y}{8} - \frac{21}{8} - 68 = 0$$ $$\frac{65 y}{8} - \frac{565}{8} = 0$$ Перенесем свободное слагаемое -565/8 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{65 y}{8} = \frac{565}{8}$$ $$\frac{65 y}{8} = \frac{565}{8}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{65}{8} y}{\frac{65}{8}} = \frac{113}{13}$$ $$y = \frac{113}{13}$$ Т.к. $$x = \frac{y}{8} - \frac{21}{8}$$ то $$x = - \frac{21}{8} + \frac{113}{104}$$ $$x = - \frac{20}{13}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$- 8 x + y = 21$$ $$x + 8 y = 68$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}- 8 x_{1} + x_{2}\\x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}21\\68\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-8 & 1\\1 & 8\end{matrix}\right] \right )} = -65$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{65} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}21 & 1\\68 & 8\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{20}{13}$$ $$x_{2} = - \frac{1}{65} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-8 & 21\\1 & 68\end{matrix}\right] \right )} = \frac{113}{13}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$- 8 x + y - 21 = 0$$ $$x + 8 y - 68 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$- 8 x + y = 21$$ $$x + 8 y = 68$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\\1 & 8 & 68\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-8\\1\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{8} + 8 & - \frac{-21}{8} + 68\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}-8 & 1 & 21\\0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\\frac{65}{8}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}-8 & 0 & - \frac{113}{13} + 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-8 & 0 & \frac{160}{13}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}-8 & 0 & \frac{160}{13}\\0 & \frac{65}{8} & \frac{565}{8}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$- 8 x_{1} - \frac{160}{13} = 0$$ $$\frac{65 x_{2}}{8} - \frac{565}{8} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = - \frac{20}{13}$$ $$x_{2} = \frac{113}{13}$$