Дана система ур-ний $$x_{1} - x_{2} = 5$$ $$2 x_{1} + x_{2} = 1$$
Из 1-го ур-ния выразим x1 $$x_{1} - x_{2} = 5$$ Перенесем слагаемое с переменной x2 из левой части в правую со сменой знака $$x_{1} = - -1 x_{2} + 5$$ $$x_{1} = x_{2} + 5$$ Подставим найденное x1 в 2-е ур-ние $$2 x_{1} + x_{2} = 1$$ Получим: $$x_{2} + 2 \left(x_{2} + 5\right) = 1$$ $$3 x_{2} + 10 = 1$$ Перенесем свободное слагаемое 10 из левой части в правую со сменой знака $$3 x_{2} = -9$$ $$3 x_{2} = -9$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x2 $$\frac{3 x_{2}}{3 x_{2}} = - 9 \frac{1}{3 x_{2}}$$ $$\frac{3}{x_{2}} = -1$$ Т.к. $$x_{1} = x_{2} + 5$$ то $$x_{1} = -1 + 5$$ $$x_{1} = 4$$
Ответ: $$x_{1} = 4$$ $$\frac{3}{x_{2}} = -1$$
Быстрый ответ
$$x_{11} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$x_{21} = -3$$ = $$-3$$ =
-3
Метод Крамера
$$x_{1} - x_{2} = 5$$ $$2 x_{1} + x_{2} = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x_{1} - x_{2} = 5$$ $$2 x_{1} + x_{2} = 1$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1\\2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 3$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x_{1} - x_{2} = 5$$ $$2 x_{1} + x_{2} = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x_{1} - x_{2} = 5$$ $$2 x_{1} + x_{2} = 1$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 5\\2 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 3 & -9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & -9\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 5\\0 & 3 & -9\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 3 & -9\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 3 & -9\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - 2 = 0$$ $$3 x_{2} + 9 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = -3$$