3*x+y=13 4*x-y=15

Вы ввели

[LaTeX]

3*x + y = 13

$$3 x + y = 13$$

4*x - y = 15

$$4 x - y = 15$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$3 x + y = 13$$
$$4 x - y = 15$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + y = 13$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - y + 13$$
$$3 x = - y + 13$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- y + 13\right)$$
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{13}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$4 x - y = 15$$
Получим:
$$- y + 4 \left(- \frac{y}{3} + \frac{13}{3}\right) = 15$$
$$- \frac{7 y}{3} + \frac{52}{3} = 15$$
Перенесем свободное слагаемое 52/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{7 y}{3} = - \frac{7}{3}$$
$$- \frac{7 y}{3} = - \frac{7}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{7}{3} y}{- \frac{7}{3}} = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{13}{3}$$
то
$$x = - \frac{1}{3} + \frac{13}{3}$$
$$x = 4$$

Ответ:
$$x = 4$$
$$y = 1$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Метод Крамера

[LaTeX]

$$3 x + y = 13$$
$$4 x - y = 15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + y = 13$$
$$4 x - y = 15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + x_{2}\\4 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}13\\15\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -7$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{7} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}13 & 1\\15 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = - \frac{1}{7} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 13\\4 & 15\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$3 x + y = 13$$
$$4 x - y = 15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + y = 13$$
$$4 x - y = 15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 13\\4 & -1 & 15\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} - 1 & - \frac{52}{3} + 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & - \frac{7}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 13\\0 & - \frac{7}{3} & - \frac{7}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{7}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & - \frac{7}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\\0 & - \frac{7}{3} & - \frac{7}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 12 = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{3} + \frac{7}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = 4.00000000000000
y1 = 1.00000000000000