x+3*y-6*z=4 10*x-7*y+9*z=3 12*x+y-6*z=13

Вы ввели

x + 3*y - 6*z = 4

$$- 6 z + x + 3 y = 4$$

10*x - 7*y + 9*z = 3

$$9 z + 10 x - 7 y = 3$$

12*x + y - 6*z = 13

$$- 6 z + 12 x + y = 13$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$z_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Метод Крамера

$$- 6 z + x + 3 y = 4$$
$$9 z + 10 x - 7 y = 3$$
$$- 6 z + 12 x + y = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y - 6 z = 4$$
$$10 x - 7 y + 9 z = 3$$
$$12 x + y - 6 z = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 6 x_{3} + x_{1} + 3 x_{2}\\9 x_{3} + 10 x_{1} - 7 x_{2}\\- 6 x_{3} + 12 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\3\\13\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3 & -6\\10 & -7 & 9\\12 & 1 & -6\end{matrix}\right] \right )} = -27$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{27} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 3 & -6\\3 & -7 & 9\\13 & 1 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{27} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4 & -6\\10 & 3 & 9\\12 & 13 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{27} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3 & 4\\10 & -7 & 3\\12 & 1 & 13\end{matrix}\right] \right )} = 0$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- 6 z + x + 3 y = 4$$
$$9 z + 10 x - 7 y = 3$$
$$- 6 z + 12 x + y = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y - 6 z = 4$$
$$10 x - 7 y + 9 z = 3$$
$$12 x + y - 6 z = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & -6 & 4\\10 & -7 & 9 & 3\\12 & 1 & -6 & 13\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\10\\12\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & -6 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -37 & 69 & -37\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -37 & 69 & -37\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & -6 & 4\\0 & -37 & 69 & -37\\12 & 1 & -6 & 13\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -35 & 66 & -35\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -35 & 66 & -35\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & -6 & 4\\0 & -37 & 69 & -37\\0 & -35 & 66 & -35\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-37\\-35\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -37 & 69 & -37\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -6 - - \frac{207}{37} & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{15}{37} & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{15}{37} & 1\\0 & -37 & 69 & -37\\0 & -35 & 66 & -35\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{2415}{37} + 66 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{27}{37} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{15}{37} & 1\\0 & -37 & 69 & -37\\0 & 0 & \frac{27}{37} & 0\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{15}{37}\\69\\\frac{27}{37}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{27}{37} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{15}{37} - - \frac{15}{37} & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -37 & 69 & -37\\0 & 0 & \frac{27}{37} & 0\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -37 & 0 & -37\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -37 & 0 & -37\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -37 & 0 & -37\\0 & 0 & \frac{27}{37} & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$- 37 x_{2} + 37 = 0$$
$$\frac{27 x_{3}}{37} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 0$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = 1.00000000000000
z1 = 1.447566071967798e-24

x2 = 1.00000000000000
y2 = 1.00000000000000
z2 = -4.342698215903395e-24

x3 = 1.00000000000000
y3 = 1.00000000000000
z3 = -3.618915179919496e-25

x4 = 1.00000000000000
y4 = 1.00000000000000
z4 = -1.447566071967798e-24

x5 = 1.00000000000000
y5 = 1.00000000000000
z5 = -7.237830359838992e-25

x6 = 1.00000000000000
y6 = 1.00000000000000
z6 = -3.101927297073854e-25

x7 = 1.00000000000000
y7 = 1.00000000000000
z7 = 0.0