Дана система ур-ний $$2 x + y = 5$$ $$3 x - y = 5$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$2 x + y = 5$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$2 x = - y + 5$$ $$2 x = - y + 5$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- y + 5\right)$$ $$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$3 x - y = 5$$ Получим: $$- y + 3 \left(- \frac{y}{2} + \frac{5}{2}\right) = 5$$ $$- \frac{5 y}{2} + \frac{15}{2} = 5$$ Перенесем свободное слагаемое 15/2 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{5 y}{2} = - \frac{5}{2}$$ $$- \frac{5 y}{2} = - \frac{5}{2}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{5}{2} y}{- \frac{5}{2}} = 1$$ $$y = 1$$ Т.к. $$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$ то $$x = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$$ $$x = 2$$
Ответ: $$x = 2$$ $$y = 1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$y_{1} = 1$$ = $$1$$ =
1
Метод Крамера
$$2 x + y = 5$$ $$3 x - y = 5$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x + y = 5$$ $$3 x - y = 5$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\3 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -5$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 1\\5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = - \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$2 x + y = 5$$ $$3 x - y = 5$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x + y = 5$$ $$3 x - y = 5$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 5\\3 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} - 1 & - \frac{15}{2} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 5\\0 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$2 x_{1} - 4 = 0$$ $$- \frac{5 x_{2}}{2} + \frac{5}{2} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = 1$$