2*x+y=5 3*x-y=5

Вы ввели

2*x + y = 5

$$2 x + y = 5$$

3*x - y = 5

$$3 x - y = 5$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + y = 5$$
$$3 x - y = 5$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + y = 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - y + 5$$
$$2 x = - y + 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- y + 5\right)$$
$$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - y = 5$$
Получим:
$$- y + 3 \left(- \frac{y}{2} + \frac{5}{2}\right) = 5$$
$$- \frac{5 y}{2} + \frac{15}{2} = 5$$
Перенесем свободное слагаемое 15/2 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{5 y}{2} = - \frac{5}{2}$$
$$- \frac{5 y}{2} = - \frac{5}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{5}{2} y}{- \frac{5}{2}} = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
то
$$x = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Метод Крамера

$$2 x + y = 5$$
$$3 x - y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y = 5$$
$$3 x - y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\3 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -5$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 1\\5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + y = 5$$
$$3 x - y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y = 5$$
$$3 x - y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 5\\3 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} - 1 & - \frac{15}{2} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 5\\0 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 4 = 0$$
$$- \frac{5 x_{2}}{2} + \frac{5}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

x1 = 2.00000000000000
y1 = 1.00000000000000