11*x/40-y/20-z/5=5/2 -x/20+3*y/20-z/10=5/2 -x/5-y/10-8*z/25=25

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

11*x   y    z      
---- - -- - - = 5/2
 40    20   5      

$$- \frac{z}{5} + \frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} = \frac{5}{2}$$

-x    3*y   z       
--- + --- - -- = 5/2
 20    20   10      

$$- \frac{z}{10} + \frac{-1 x}{20} + \frac{3 y}{20} = \frac{5}{2}$$

-x    y    8*z     
--- - -- - --- = 25
 5    10    25     

$$- \frac{8 z}{25} + \frac{-1 x}{5} - \frac{y}{10} = 25$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = - \frac{14800}{463}$$
=
$$- \frac{14800}{463}$$
=

-31.9654427645788

$$z_{1} = - \frac{23000}{463}$$
=
$$- \frac{23000}{463}$$
=

-49.6760259179266

$$y_{1} = - \frac{12550}{463}$$
=
$$- \frac{12550}{463}$$
=

-27.1058315334773

Метод Крамера

[TeX]

$$- \frac{z}{5} + \frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{z}{10} + \frac{-1 x}{20} + \frac{3 y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{8 z}{25} + \frac{-1 x}{5} - \frac{y}{10} = 25$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} - \frac{z}{5} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{20} + \frac{3 y}{20} - \frac{z}{10} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{5} - \frac{y}{10} - \frac{8 z}{25} = 25$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{3}}{5} + \frac{11 x_{1}}{40} - \frac{x_{2}}{20}\\- \frac{x_{3}}{10} + - \frac{x_{1}}{20} + \frac{3 x_{2}}{20}\\- \frac{8 x_{3}}{25} + - \frac{x_{1}}{5} - \frac{x_{2}}{10}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\\25\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{463}{20000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{5}{2} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5}\\\frac{5}{2} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10}\\25 & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{14800}{463}$$
$$x_{2} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & \frac{5}{2} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{20} & \frac{5}{2} & - \frac{1}{10}\\- \frac{1}{5} & 25 & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{12550}{463}$$
$$x_{3} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & 25\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{23000}{463}$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$- \frac{z}{5} + \frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{z}{10} + \frac{-1 x}{20} + \frac{3 y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{8 z}{25} + \frac{-1 x}{5} - \frac{y}{10} = 25$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} - \frac{z}{5} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{20} + \frac{3 y}{20} - \frac{z}{10} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{5} - \frac{y}{10} - \frac{8 z}{25} = 25$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25} & 25\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40}\\- \frac{1}{20}\\- \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{20} - - \frac{1}{20} & - \frac{1}{110} + \frac{3}{20} & - \frac{1}{10} - \frac{2}{55} & - \frac{-5}{11} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25} & 25\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{5} - - \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} - \frac{2}{55} & - \frac{8}{25} - \frac{8}{55} & - \frac{-20}{11} + 25\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{20}\\\frac{31}{220}\\- \frac{3}{22}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} - - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} - \frac{3}{62} & - \frac{-65}{62} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{22} - - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} - \frac{45}{341} & - \frac{-975}{341} + \frac{295}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{77}{310}\\- \frac{3}{22}\\- \frac{463}{775}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} - - \frac{77}{310} & - \frac{177100}{14353} + \frac{110}{31}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} - - \frac{3}{22} & - \frac{34500}{5093} + \frac{65}{22}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & 0 & - \frac{38905}{10186}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\\0 & \frac{31}{220} & 0 & - \frac{38905}{10186}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{11 x_{1}}{40} + \frac{4070}{463} = 0$$
$$\frac{31 x_{2}}{220} + \frac{38905}{10186} = 0$$
$$- \frac{463 x_{3}}{775} - \frac{920}{31} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{14800}{463}$$
$$x_{2} = - \frac{12550}{463}$$
$$x_{3} = - \frac{23000}{463}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = -31.96544276457883
y1 = -27.10583153347732
z1 = -49.67602591792657