11*x/40-y/20-z/5=5/2 -x/20+3*y/20-z/10=5/2 -x/5-y/10-8*z/25=25
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
11*x y z ---- - -- - - = 5/2 40 20 5
$$- \frac{z}{5} + \frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} = \frac{5}{2}$$
-x 3*y z --- + --- - -- = 5/2 20 20 10
$$- \frac{z}{10} + \frac{-1 x}{20} + \frac{3 y}{20} = \frac{5}{2}$$
-x y 8*z --- - -- - --- = 25 5 10 25
$$- \frac{8 z}{25} + \frac{-1 x}{5} - \frac{y}{10} = 25$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = - \frac{14800}{463}$$
=
$$- \frac{14800}{463}$$
=
$$z_{1} = - \frac{23000}{463}$$
=
$$- \frac{23000}{463}$$
=
$$y_{1} = - \frac{12550}{463}$$
=
$$- \frac{12550}{463}$$
=
=
$$- \frac{14800}{463}$$
=
-31.9654427645788
$$z_{1} = - \frac{23000}{463}$$
=
$$- \frac{23000}{463}$$
=
-49.6760259179266
$$y_{1} = - \frac{12550}{463}$$
=
$$- \frac{12550}{463}$$
=
-27.1058315334773
Метод Крамера
[TeX]
$$- \frac{z}{5} + \frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{z}{10} + \frac{-1 x}{20} + \frac{3 y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{8 z}{25} + \frac{-1 x}{5} - \frac{y}{10} = 25$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} - \frac{z}{5} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{20} + \frac{3 y}{20} - \frac{z}{10} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{5} - \frac{y}{10} - \frac{8 z}{25} = 25$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{3}}{5} + \frac{11 x_{1}}{40} - \frac{x_{2}}{20}\\- \frac{x_{3}}{10} + - \frac{x_{1}}{20} + \frac{3 x_{2}}{20}\\- \frac{8 x_{3}}{25} + - \frac{x_{1}}{5} - \frac{x_{2}}{10}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\\25\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{463}{20000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{5}{2} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5}\\\frac{5}{2} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10}\\25 & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{14800}{463}$$
$$x_{2} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & \frac{5}{2} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{20} & \frac{5}{2} & - \frac{1}{10}\\- \frac{1}{5} & 25 & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{12550}{463}$$
$$x_{3} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & 25\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{23000}{463}$$
$$- \frac{z}{10} + \frac{-1 x}{20} + \frac{3 y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{8 z}{25} + \frac{-1 x}{5} - \frac{y}{10} = 25$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} - \frac{z}{5} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{20} + \frac{3 y}{20} - \frac{z}{10} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{5} - \frac{y}{10} - \frac{8 z}{25} = 25$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{3}}{5} + \frac{11 x_{1}}{40} - \frac{x_{2}}{20}\\- \frac{x_{3}}{10} + - \frac{x_{1}}{20} + \frac{3 x_{2}}{20}\\- \frac{8 x_{3}}{25} + - \frac{x_{1}}{5} - \frac{x_{2}}{10}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\\25\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{463}{20000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{5}{2} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5}\\\frac{5}{2} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10}\\25 & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{14800}{463}$$
$$x_{2} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & \frac{5}{2} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{20} & \frac{5}{2} & - \frac{1}{10}\\- \frac{1}{5} & 25 & - \frac{8}{25}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{12550}{463}$$
$$x_{3} = - \frac{20000}{463} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & 25\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{23000}{463}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- \frac{z}{5} + \frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{z}{10} + \frac{-1 x}{20} + \frac{3 y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{8 z}{25} + \frac{-1 x}{5} - \frac{y}{10} = 25$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} - \frac{z}{5} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{20} + \frac{3 y}{20} - \frac{z}{10} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{5} - \frac{y}{10} - \frac{8 z}{25} = 25$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25} & 25\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40}\\- \frac{1}{20}\\- \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{20} - - \frac{1}{20} & - \frac{1}{110} + \frac{3}{20} & - \frac{1}{10} - \frac{2}{55} & - \frac{-5}{11} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25} & 25\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{5} - - \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} - \frac{2}{55} & - \frac{8}{25} - \frac{8}{55} & - \frac{-20}{11} + 25\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{20}\\\frac{31}{220}\\- \frac{3}{22}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} - - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} - \frac{3}{62} & - \frac{-65}{62} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{22} - - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} - \frac{45}{341} & - \frac{-975}{341} + \frac{295}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{77}{310}\\- \frac{3}{22}\\- \frac{463}{775}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} - - \frac{77}{310} & - \frac{177100}{14353} + \frac{110}{31}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} - - \frac{3}{22} & - \frac{34500}{5093} + \frac{65}{22}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & 0 & - \frac{38905}{10186}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\\0 & \frac{31}{220} & 0 & - \frac{38905}{10186}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{11 x_{1}}{40} + \frac{4070}{463} = 0$$
$$\frac{31 x_{2}}{220} + \frac{38905}{10186} = 0$$
$$- \frac{463 x_{3}}{775} - \frac{920}{31} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{14800}{463}$$
$$x_{2} = - \frac{12550}{463}$$
$$x_{3} = - \frac{23000}{463}$$
$$- \frac{z}{5} + \frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{z}{10} + \frac{-1 x}{20} + \frac{3 y}{20} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{8 z}{25} + \frac{-1 x}{5} - \frac{y}{10} = 25$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{11 x}{40} - \frac{y}{20} - \frac{z}{5} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{20} + \frac{3 y}{20} - \frac{z}{10} = \frac{5}{2}$$
$$- \frac{x}{5} - \frac{y}{10} - \frac{8 z}{25} = 25$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{20} & \frac{3}{20} & - \frac{1}{10} & \frac{5}{2}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25} & 25\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40}\\- \frac{1}{20}\\- \frac{1}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{20} - - \frac{1}{20} & - \frac{1}{110} + \frac{3}{20} & - \frac{1}{10} - \frac{2}{55} & - \frac{-5}{11} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\- \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} & - \frac{8}{25} & 25\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{5} - - \frac{1}{5} & - \frac{1}{10} - \frac{2}{55} & - \frac{8}{25} - \frac{8}{55} & - \frac{-20}{11} + 25\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} & \frac{5}{2}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{20}\\\frac{31}{220}\\- \frac{3}{22}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & - \frac{1}{20} - - \frac{1}{20} & - \frac{1}{5} - \frac{3}{62} & - \frac{-65}{62} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} & \frac{295}{11}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{22} - - \frac{3}{22} & - \frac{128}{275} - \frac{45}{341} & - \frac{-975}{341} + \frac{295}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} & \frac{110}{31}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{77}{310}\\- \frac{3}{22}\\- \frac{463}{775}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & - \frac{77}{310} - - \frac{77}{310} & - \frac{177100}{14353} + \frac{110}{31}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\\0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} & \frac{65}{22}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & - \frac{3}{22} - - \frac{3}{22} & - \frac{34500}{5093} + \frac{65}{22}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{31}{220} & 0 & - \frac{38905}{10186}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{11}{40} & 0 & 0 & - \frac{4070}{463}\\0 & \frac{31}{220} & 0 & - \frac{38905}{10186}\\0 & 0 & - \frac{463}{775} & \frac{920}{31}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{11 x_{1}}{40} + \frac{4070}{463} = 0$$
$$\frac{31 x_{2}}{220} + \frac{38905}{10186} = 0$$
$$- \frac{463 x_{3}}{775} - \frac{920}{31} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{14800}{463}$$
$$x_{2} = - \frac{12550}{463}$$
$$x_{3} = - \frac{23000}{463}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -31.96544276457883 y1 = -27.10583153347732 z1 = -49.67602591792657