x-2*y=5 2*x+3*y=4

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

x - 2*y = 5

$$x - 2 y = 5$$

2*x + 3*y = 4

$$2 x + 3 y = 4$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x - 2 y = 5$$
$$2 x + 3 y = 4$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x - 2 y = 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 5$$
$$x = 2 y + 5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 3 y = 4$$
Получим:
$$3 y + 2 \left(2 y + 5\right) = 4$$
$$7 y + 10 = 4$$
Перенесем свободное слагаемое 10 из левой части в правую со сменой знака
$$7 y = -6$$
$$7 y = -6$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{7 y}{7} = - \frac{6}{7}$$
$$y = - \frac{6}{7}$$
Т.к.
$$x = 2 y + 5$$
то
$$x = \frac{-12}{7} + 5$$
$$x = \frac{23}{7}$$

Ответ:
$$x = \frac{23}{7}$$
$$y = - \frac{6}{7}$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = \frac{23}{7}$$
=
$$\frac{23}{7}$$
=

3.28571428571429

$$y_{1} = - \frac{6}{7}$$
=
$$- \frac{6}{7}$$
=

-0.857142857142857

Метод Крамера

[TeX]

$$x - 2 y = 5$$
$$2 x + 3 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 2 y = 5$$
$$2 x + 3 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 2 x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -2\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{7} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -2\\4 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{23}{7}$$
$$x_{2} = \frac{1}{7} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{6}{7}$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x - 2 y = 5$$
$$2 x + 3 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 2 y = 5$$
$$2 x + 3 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 5\\2 & 3 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 5\\0 & 7 & -6\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{12}{7} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{23}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{23}{7}\\0 & 7 & -6\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{23}{7} = 0$$
$$7 x_{2} + 6 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{23}{7}$$
$$x_{2} = - \frac{6}{7}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 3.285714285714286
y1 = -0.8571428571428571