2*x-y=5 -x+y=4

Вы ввели

2*x - y = 5

$$2 x - y = 5$$

-x + y = 4

$$- x + y = 4$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x - y = 5$$
$$- x + y = 4$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - y = 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - -1 y + 5$$
$$2 x = y + 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(y + 5\right)$$
$$x = \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- x + y = 4$$
Получим:
$$y - \frac{y}{2} + \frac{5}{2} = 4$$
$$\frac{y}{2} - \frac{5}{2} = 4$$
Перенесем свободное слагаемое -5/2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{y}{2} = \frac{13}{2}$$
$$\frac{y}{2} = \frac{13}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y

/y\     
|-|     
\2/     
--- = 13
1/2     

$$y = 13$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
то
$$x = \frac{5}{2} + \frac{13}{2}$$
$$x = 9$$

Ответ:
$$x = 9$$
$$y = 13$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 9$$
=
$$9$$
=

9

$$y_{1} = 13$$
=
$$13$$
=

13

Метод Крамера

$$2 x - y = 5$$
$$- x + y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 5$$
$$- x + y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\- x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\-1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -1\\4 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 9$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\-1 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 13$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x - y = 5$$
$$- x + y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 5$$
$$- x + y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\\-1 & 1 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} + 1 & - \frac{-5}{2} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\\0 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 18\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 18\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 18\\0 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 18 = 0$$
$$\frac{x_{2}}{2} - \frac{13}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 13$$

Численный ответ

x1 = 9.00000000000000
y1 = 13.0000000000000