x+4*y=6 3*x-y=8

Вы ввели

x + 4*y = 6

$$x + 4 y = 6$$

3*x - y = 8

$$3 x - y = 8$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 4 y = 6$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 4 y + 6$$
$$x = - 4 y + 6$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - y = 8$$
Получим:
$$- y + 3 \left(- 4 y + 6\right) = 8$$
$$- 13 y + 18 = 8$$
Перенесем свободное слагаемое 18 из левой части в правую со сменой знака
$$- 13 y = -10$$
$$- 13 y = -10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-13} \left(-1 \cdot 13 y\right) = \frac{10}{13}$$
$$y = \frac{10}{13}$$
Т.к.
$$x = - 4 y + 6$$
то
$$x = - \frac{40}{13} + 6$$
$$x = \frac{38}{13}$$

Ответ:
$$x = \frac{38}{13}$$
$$y = \frac{10}{13}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{38}{13}$$
=
$$\frac{38}{13}$$
=

2.92307692307692

$$y_{1} = \frac{10}{13}$$
=
$$\frac{10}{13}$$
=

0.769230769230769

Метод Крамера

$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 4 x_{2}\\3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\3 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -13$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 4\\8 & -1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{38}{13}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 6\\3 & 8\end{matrix}\right] \right )} = \frac{10}{13}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\\3 & -1 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\\0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-13\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{40}{13} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{38}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{38}{13}\\0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{38}{13} = 0$$
$$- 13 x_{2} + 10 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{38}{13}$$
$$x_{2} = \frac{10}{13}$$

Численный ответ

x1 = 2.923076923076923
y1 = 0.7692307692307692