x+4*y=6 3*x-y=8
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 4 y = 6$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 4 y + 6$$
$$x = - 4 y + 6$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - y = 8$$
Получим:
$$- y + 3 \left(- 4 y + 6\right) = 8$$
$$- 13 y + 18 = 8$$
Перенесем свободное слагаемое 18 из левой части в правую со сменой знака
$$- 13 y = -10$$
$$- 13 y = -10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-13} \left(-1 \cdot 13 y\right) = \frac{10}{13}$$
$$y = \frac{10}{13}$$
Т.к.
$$x = - 4 y + 6$$
то
$$x = - \frac{40}{13} + 6$$
$$x = \frac{38}{13}$$
Ответ:
$$x = \frac{38}{13}$$
$$y = \frac{10}{13}$$
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 4 y = 6$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 4 y + 6$$
$$x = - 4 y + 6$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - y = 8$$
Получим:
$$- y + 3 \left(- 4 y + 6\right) = 8$$
$$- 13 y + 18 = 8$$
Перенесем свободное слагаемое 18 из левой части в правую со сменой знака
$$- 13 y = -10$$
$$- 13 y = -10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-13} \left(-1 \cdot 13 y\right) = \frac{10}{13}$$
$$y = \frac{10}{13}$$
Т.к.
$$x = - 4 y + 6$$
то
$$x = - \frac{40}{13} + 6$$
$$x = \frac{38}{13}$$
Ответ:
$$x = \frac{38}{13}$$
$$y = \frac{10}{13}$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = \frac{38}{13}$$
=
$$\frac{38}{13}$$
=
$$y_{1} = \frac{10}{13}$$
=
$$\frac{10}{13}$$
=
=
$$\frac{38}{13}$$
=
2.92307692307692
$$y_{1} = \frac{10}{13}$$
=
$$\frac{10}{13}$$
=
0.769230769230769
Метод Крамера
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 4 x_{2}\\3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\3 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -13$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 4\\8 & -1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{38}{13}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 6\\3 & 8\end{matrix}\right] \right )} = \frac{10}{13}$$
$$3 x - y = 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 4 x_{2}\\3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\3 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -13$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 4\\8 & -1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{38}{13}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 6\\3 & 8\end{matrix}\right] \right )} = \frac{10}{13}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\\3 & -1 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\\0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-13\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{40}{13} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{38}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{38}{13}\\0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{38}{13} = 0$$
$$- 13 x_{2} + 10 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{38}{13}$$
$$x_{2} = \frac{10}{13}$$
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 6$$
$$3 x - y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\\3 & -1 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 6\\0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-13\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{40}{13} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{38}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{38}{13}\\0 & -13 & -10\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{38}{13} = 0$$
$$- 13 x_{2} + 10 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{38}{13}$$
$$x_{2} = \frac{10}{13}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 2.923076923076923 y1 = 0.7692307692307692