30*x1-16*x2+4*x3=-30 -16*x1+53*x2+12*x3=150 4*x1+12*x2+24*x3=130
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
30*x1 - 16*x2 + 4*x3 = -30
$$4 x_{3} + 30 x_{1} - 16 x_{2} = -30$$
-16*x1 + 53*x2 + 12*x3 = 150
$$12 x_{3} + - 16 x_{1} + 53 x_{2} = 150$$
4*x1 + 12*x2 + 24*x3 = 130
$$24 x_{3} + 4 x_{1} + 12 x_{2} = 130$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{31} = \frac{4355}{904}$$
=
$$\frac{4355}{904}$$
=
$$x_{11} = - \frac{385}{452}$$
=
$$- \frac{385}{452}$$
=
$$x_{21} = \frac{335}{226}$$
=
$$\frac{335}{226}$$
=
=
$$\frac{4355}{904}$$
=
4.81747787610619
$$x_{11} = - \frac{385}{452}$$
=
$$- \frac{385}{452}$$
=
-0.851769911504425
$$x_{21} = \frac{335}{226}$$
=
$$\frac{335}{226}$$
=
1.48230088495575
Метод Крамера
[TeX]
$$4 x_{3} + 30 x_{1} - 16 x_{2} = -30$$
$$12 x_{3} + - 16 x_{1} + 53 x_{2} = 150$$
$$24 x_{3} + 4 x_{1} + 12 x_{2} = 130$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$30 x_{1} - 16 x_{2} + 4 x_{3} = -30$$
$$- 16 x_{1} + 53 x_{2} + 12 x_{3} = 150$$
$$4 x_{1} + 12 x_{2} + 24 x_{3} = 130$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{3} + 30 x_{1} - 16 x_{2}\\12 x_{3} + - 16 x_{1} + 53 x_{2}\\24 x_{3} + 4 x_{1} + 12 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-30\\150\\130\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4\\-16 & 53 & 12\\4 & 12 & 24\end{matrix}\right] \right )} = 25312$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{25312} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-30 & -16 & 4\\150 & 53 & 12\\130 & 12 & 24\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{385}{452}$$
$$x_{2} = \frac{1}{25312} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & -30 & 4\\-16 & 150 & 12\\4 & 130 & 24\end{matrix}\right] \right )} = \frac{335}{226}$$
$$x_{3} = \frac{1}{25312} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & -16 & -30\\-16 & 53 & 150\\4 & 12 & 130\end{matrix}\right] \right )} = \frac{4355}{904}$$
$$12 x_{3} + - 16 x_{1} + 53 x_{2} = 150$$
$$24 x_{3} + 4 x_{1} + 12 x_{2} = 130$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$30 x_{1} - 16 x_{2} + 4 x_{3} = -30$$
$$- 16 x_{1} + 53 x_{2} + 12 x_{3} = 150$$
$$4 x_{1} + 12 x_{2} + 24 x_{3} = 130$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{3} + 30 x_{1} - 16 x_{2}\\12 x_{3} + - 16 x_{1} + 53 x_{2}\\24 x_{3} + 4 x_{1} + 12 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-30\\150\\130\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4\\-16 & 53 & 12\\4 & 12 & 24\end{matrix}\right] \right )} = 25312$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{25312} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-30 & -16 & 4\\150 & 53 & 12\\130 & 12 & 24\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{385}{452}$$
$$x_{2} = \frac{1}{25312} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & -30 & 4\\-16 & 150 & 12\\4 & 130 & 24\end{matrix}\right] \right )} = \frac{335}{226}$$
$$x_{3} = \frac{1}{25312} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & -16 & -30\\-16 & 53 & 150\\4 & 12 & 130\end{matrix}\right] \right )} = \frac{4355}{904}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$4 x_{3} + 30 x_{1} - 16 x_{2} = -30$$
$$12 x_{3} + - 16 x_{1} + 53 x_{2} = 150$$
$$24 x_{3} + 4 x_{1} + 12 x_{2} = 130$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$30 x_{1} - 16 x_{2} + 4 x_{3} = -30$$
$$- 16 x_{1} + 53 x_{2} + 12 x_{3} = 150$$
$$4 x_{1} + 12 x_{2} + 24 x_{3} = 130$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4 & -30\\-16 & 53 & 12 & 150\\4 & 12 & 24 & 130\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}30\\-16\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4 & -30\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{128}{15} + 53 & - \frac{-32}{15} + 12 & 134\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4 & -30\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\4 & 12 & 24 & 130\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-32}{15} + 12 & - \frac{8}{15} + 24 & 134\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{212}{15} & \frac{352}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4 & -30\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\0 & \frac{212}{15} & \frac{352}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-16\\\frac{667}{15}\\\frac{212}{15}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & 4 - - \frac{3392}{667} & -30 - - \frac{32160}{667}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30 & 0 & \frac{6060}{667} & \frac{12150}{667}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & \frac{6060}{667} & \frac{12150}{667}\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\0 & \frac{212}{15} & \frac{352}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{212}{15} + \frac{212}{15} & - \frac{44944}{10005} + \frac{352}{15} & - \frac{28408}{667} + 134\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & \frac{6060}{667} & \frac{12150}{667}\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{212}{15}\\\frac{12656}{667}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & - \frac{6060}{667} + \frac{6060}{667} & - \frac{6597825}{150742} + \frac{12150}{667}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30 & 0 & 0 & - \frac{5775}{226}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & 0 & - \frac{5775}{226}\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{667}{15} & - \frac{212}{15} + \frac{212}{15} & - \frac{46163}{678} + 134\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{667}{15} & 0 & \frac{44689}{678}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & 0 & - \frac{5775}{226}\\0 & \frac{667}{15} & 0 & \frac{44689}{678}\\0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$30 x_{1} + \frac{5775}{226} = 0$$
$$\frac{667 x_{2}}{15} - \frac{44689}{678} = 0$$
$$\frac{12656 x_{3}}{667} - \frac{60970}{667} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{385}{452}$$
$$x_{2} = \frac{335}{226}$$
$$x_{3} = \frac{4355}{904}$$
$$4 x_{3} + 30 x_{1} - 16 x_{2} = -30$$
$$12 x_{3} + - 16 x_{1} + 53 x_{2} = 150$$
$$24 x_{3} + 4 x_{1} + 12 x_{2} = 130$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$30 x_{1} - 16 x_{2} + 4 x_{3} = -30$$
$$- 16 x_{1} + 53 x_{2} + 12 x_{3} = 150$$
$$4 x_{1} + 12 x_{2} + 24 x_{3} = 130$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4 & -30\\-16 & 53 & 12 & 150\\4 & 12 & 24 & 130\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}30\\-16\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4 & -30\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{128}{15} + 53 & - \frac{-32}{15} + 12 & 134\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4 & -30\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\4 & 12 & 24 & 130\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-32}{15} + 12 & - \frac{8}{15} + 24 & 134\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{212}{15} & \frac{352}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & -16 & 4 & -30\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\0 & \frac{212}{15} & \frac{352}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-16\\\frac{667}{15}\\\frac{212}{15}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & 4 - - \frac{3392}{667} & -30 - - \frac{32160}{667}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30 & 0 & \frac{6060}{667} & \frac{12150}{667}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & \frac{6060}{667} & \frac{12150}{667}\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\0 & \frac{212}{15} & \frac{352}{15} & 134\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{212}{15} + \frac{212}{15} & - \frac{44944}{10005} + \frac{352}{15} & - \frac{28408}{667} + 134\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & \frac{6060}{667} & \frac{12150}{667}\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{212}{15}\\\frac{12656}{667}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & - \frac{6060}{667} + \frac{6060}{667} & - \frac{6597825}{150742} + \frac{12150}{667}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30 & 0 & 0 & - \frac{5775}{226}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & 0 & - \frac{5775}{226}\\0 & \frac{667}{15} & \frac{212}{15} & 134\\0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{667}{15} & - \frac{212}{15} + \frac{212}{15} & - \frac{46163}{678} + 134\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{667}{15} & 0 & \frac{44689}{678}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & 0 & - \frac{5775}{226}\\0 & \frac{667}{15} & 0 & \frac{44689}{678}\\0 & 0 & \frac{12656}{667} & \frac{60970}{667}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$30 x_{1} + \frac{5775}{226} = 0$$
$$\frac{667 x_{2}}{15} - \frac{44689}{678} = 0$$
$$\frac{12656 x_{3}}{667} - \frac{60970}{667} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{385}{452}$$
$$x_{2} = \frac{335}{226}$$
$$x_{3} = \frac{4355}{904}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x11 = -0.8517699115044248 x21 = 1.482300884955752 x31 = 4.817477876106195