x+2*y=1 2*x=24*3*y

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

x + 2*y = 1

$$x + 2 y = 1$$

2*x = 72*y

$$2 x = 72 y$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x + 2 y = 1$$
$$2 x = 72 y$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 2 y = 1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 2 y + 1$$
$$x = - 2 y + 1$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x = 72 y$$
Получим:
$$2 \left(- 2 y + 1\right) = 72 y$$
$$- 4 y + 2 = 72 y$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- 72 y + - 4 y + 2 = 0$$
$$- 76 y + 2 = 0$$
Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака
$$- 76 y = -2$$
$$- 76 y = -2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-76} \left(-1 \cdot 76 y\right) = \frac{1}{38}$$
$$y = \frac{1}{38}$$
Т.к.
$$x = - 2 y + 1$$
то
$$x = - \frac{1}{19} + 1$$
$$x = \frac{18}{19}$$

Ответ:
$$x = \frac{18}{19}$$
$$y = \frac{1}{38}$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = \frac{18}{19}$$
=
$$\frac{18}{19}$$
=

0.947368421052632

$$y_{1} = \frac{1}{38}$$
=
$$\frac{1}{38}$$
=

0.0263157894736842

Метод Крамера

[TeX]

$$x + 2 y = 1$$
$$2 x = 72 y$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y = 1$$
$$2 x - 72 y = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 2 x_{2}\\2 x_{1} - 72 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2\\2 & -72\end{matrix}\right] \right )} = -76$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{76} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2\\0 & -72\end{matrix}\right] \right )} = \frac{18}{19}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{76} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{38}$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x + 2 y = 1$$
$$2 x = 72 y$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y = 1$$
$$2 x - 72 y = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1\\2 & -72 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -76 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -76 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1\\0 & -76 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-76\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -76 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{19} + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{18}{19}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{18}{19}\\0 & -76 & -2\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{18}{19} = 0$$
$$- 76 x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{18}{19}$$
$$x_{2} = \frac{1}{38}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 0.9473684210526316
y1 = 0.02631578947368421