7*x-2*y+z=0 3*x+3*y-z=2 4*x+y+z=6

Вы ввели

7*x - 2*y + z = 0

$$z + 7 x - 2 y = 0$$

3*x + 3*y - z = 2

$$- z + 3 x + 3 y = 2$$

4*x + y + z = 6

$$z + 4 x + y = 6$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

$$z_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$z + 7 x - 2 y = 0$$
$$- z + 3 x + 3 y = 2$$
$$z + 4 x + y = 6$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - 2 y + z = 0$$
$$3 x + 3 y - z = 2$$
$$4 x + y + z = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + 7 x_{1} - 2 x_{2}\\- x_{3} + 3 x_{1} + 3 x_{2}\\x_{3} + 4 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\2\\6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -2 & 1\\3 & 3 & -1\\4 & 1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 33$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -2 & 1\\2 & 3 & -1\\6 & 1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 0 & 1\\3 & 2 & -1\\4 & 6 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{3} = \frac{1}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -2 & 0\\3 & 3 & 2\\4 & 1 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 4$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$z + 7 x - 2 y = 0$$
$$- z + 3 x + 3 y = 2$$
$$z + 4 x + y = 6$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - 2 y + z = 0$$
$$3 x + 3 y - z = 2$$
$$4 x + y + z = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & -2 & 1 & 0\\3 & 3 & -1 & 2\\4 & 1 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\3\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & -2 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-6}{7} + 3 & -1 - \frac{3}{7} & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{27}{7} & - \frac{10}{7} & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -2 & 1 & 0\\0 & \frac{27}{7} & - \frac{10}{7} & 2\\4 & 1 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 - - \frac{8}{7} & - \frac{4}{7} + 1 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{15}{7} & \frac{3}{7} & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -2 & 1 & 0\\0 & \frac{27}{7} & - \frac{10}{7} & 2\\0 & \frac{15}{7} & \frac{3}{7} & 6\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\\frac{27}{7}\\\frac{15}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{27}{7} & - \frac{10}{7} & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{20}{27} + 1 & - \frac{-28}{27}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{7}{27} & \frac{28}{27}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{7}{27} & \frac{28}{27}\\0 & \frac{27}{7} & - \frac{10}{7} & 2\\0 & \frac{15}{7} & \frac{3}{7} & 6\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{7} + \frac{15}{7} & \frac{3}{7} - - \frac{50}{63} & - \frac{10}{9} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{11}{9} & \frac{44}{9}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{7}{27} & \frac{28}{27}\\0 & \frac{27}{7} & - \frac{10}{7} & 2\\0 & 0 & \frac{11}{9} & \frac{44}{9}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{7}{27}\\- \frac{10}{7}\\\frac{11}{9}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{11}{9} & \frac{44}{9}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{7}{27} + \frac{7}{27} & - \frac{28}{27} + \frac{28}{27}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{27}{7} & - \frac{10}{7} & 2\\0 & 0 & \frac{11}{9} & \frac{44}{9}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{27}{7} & - \frac{10}{7} - - \frac{10}{7} & 2 - - \frac{40}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{27}{7} & 0 & \frac{54}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{27}{7} & 0 & \frac{54}{7}\\0 & 0 & \frac{11}{9} & \frac{44}{9}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} = 0$$
$$\frac{27 x_{2}}{7} - \frac{54}{7} = 0$$
$$\frac{11 x_{3}}{9} - \frac{44}{9} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$

Численный ответ

x1 = -5.169878828456423e-26
y1 = 2.00000000000000
z1 = 4.00000000000000

x2 = -2.584939414228211e-26
y2 = 2.00000000000000
z2 = 4.00000000000000

x3 = 0.0
y3 = 2.00000000000000
z3 = 4.00000000000000

x4 = 2.584939414228211e-26
y4 = 2.00000000000000
z4 = 4.00000000000000

x5 = 5.169878828456423e-26
y5 = 2.00000000000000
z5 = 4.00000000000000