4*x-3*y+6*z=-1 x-5*y+7*z=-2 5*x+y+z=0

Вы ввели

4*x - 3*y + 6*z = -1

$$6 z + 4 x - 3 y = -1$$

x - 5*y + 7*z = -2

$$7 z + x - 5 y = -2$$

5*x + y + z = 0

$$z + 5 x + y = 0$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$z_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

$$6 z + 4 x - 3 y = -1$$
$$7 z + x - 5 y = -2$$
$$z + 5 x + y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 3 y + 6 z = -1$$
$$x - 5 y + 7 z = -2$$
$$5 x + y + z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 x_{3} + 4 x_{1} - 3 x_{2}\\7 x_{3} + x_{1} - 5 x_{2}\\x_{3} + 5 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\-2\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3 & 6\\1 & -5 & 7\\5 & 1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{6} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -3 & 6\\-2 & -5 & 7\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{6} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1 & 6\\1 & -2 & 7\\5 & 0 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{3} = \frac{1}{6} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3 & -1\\1 & -5 & -2\\5 & 1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$6 z + 4 x - 3 y = -1$$
$$7 z + x - 5 y = -2$$
$$z + 5 x + y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 3 y + 6 z = -1$$
$$x - 5 y + 7 z = -2$$
$$5 x + y + z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & 6 & -1\\1 & -5 & 7 & -2\\5 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\1\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & 6 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 - - \frac{3}{4} & - \frac{3}{2} + 7 & -2 - - \frac{1}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{4} & \frac{11}{2} & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & 6 & -1\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{11}{2} & - \frac{7}{4}\\5 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 - - \frac{15}{4} & - \frac{15}{2} + 1 & - \frac{-5}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{4} & - \frac{13}{2} & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -3 & 6 & -1\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{11}{2} & - \frac{7}{4}\\0 & \frac{19}{4} & - \frac{13}{2} & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\- \frac{17}{4}\\\frac{19}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{4} & \frac{11}{2} & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{66}{17} + 6 & -1 - - \frac{21}{17}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & \frac{36}{17} & \frac{4}{17}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & \frac{36}{17} & \frac{4}{17}\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{11}{2} & - \frac{7}{4}\\0 & \frac{19}{4} & - \frac{13}{2} & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{19}{4} + \frac{19}{4} & - \frac{13}{2} - - \frac{209}{34} & - \frac{133}{68} + \frac{5}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{6}{17} & - \frac{12}{17}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & \frac{36}{17} & \frac{4}{17}\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{11}{2} & - \frac{7}{4}\\0 & 0 & - \frac{6}{17} & - \frac{12}{17}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{36}{17}\\\frac{11}{2}\\- \frac{6}{17}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{6}{17} & - \frac{12}{17}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{36}{17} + \frac{36}{17} & - \frac{72}{17} + \frac{4}{17}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & -4\\0 & - \frac{17}{4} & \frac{11}{2} & - \frac{7}{4}\\0 & 0 & - \frac{6}{17} & - \frac{12}{17}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{4} & - \frac{11}{2} + \frac{11}{2} & - \frac{51}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{4} & 0 & - \frac{51}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & -4\\0 & - \frac{17}{4} & 0 & - \frac{51}{4}\\0 & 0 & - \frac{6}{17} & - \frac{12}{17}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} + 4 = 0$$
$$- \frac{17 x_{2}}{4} + \frac{51}{4} = 0$$
$$- \frac{6 x_{3}}{17} + \frac{12}{17} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 2$$

Численный ответ

x1 = -1.00000000000000
y1 = 3.00000000000000
z1 = 2.00000000000000