3*x+y=8 y-x=0

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

3*x + y = 8

$$3 x + y = 8$$

y - x = 0

$$- x + y = 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$3 x + y = 8$$
$$- x + y = 0$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + y = 8$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - y + 8$$
$$3 x = - y + 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- y + 8\right)$$
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{8}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- x + y = 0$$
Получим:
$$y - - \frac{y}{3} + \frac{8}{3} = 0$$
$$\frac{4 y}{3} - \frac{8}{3} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое -8/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{4 y}{3} = \frac{8}{3}$$
$$\frac{4 y}{3} = \frac{8}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{4}{3} y}{\frac{4}{3}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{8}{3}$$
то
$$x = - \frac{2}{3} + \frac{8}{3}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

[TeX]

$$3 x + y = 8$$
$$- x + y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + y = 8$$
$$- x + y = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + x_{2}\\- x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\-1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 1\\0 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 8\\-1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$3 x + y = 8$$
$$- x + y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + y = 8$$
$$- x + y = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 8\\-1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{3} + 1 & - \frac{-8}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 8\\0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\\0 & \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 6 = 0$$
$$\frac{4 x_{2}}{3} - \frac{8}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 2.00000000000000
y1 = 2.00000000000000