Системы уравнений/ Любые

x1+5*x2+3*x3=51 -x1-5*x2-4*x3=-15 2*x1+2*x2-4*x3=25 2*x1+2*x2-3*x3=-11

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:
54 уравнение:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x1 + 5*x2 + 3*x3 = 51
$$3 x_{3} + x_{1} + 5 x_{2} = 51$$ 
-x1 - 5*x2 - 4*x3 = -15
$$- 4 x_{3} + - x_{1} - 5 x_{2} = -15$$ 
2*x1 + 2*x2 - 4*x3 = 25
$$- 4 x_{3} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 25$$ 
2*x1 + 2*x2 - 3*x3 = -11
$$- 3 x_{3} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = -11$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{31} = -36$$
=
$$-36$$
=
-36

$$x_{11} = - \frac{913}{8}$$
=
$$- \frac{913}{8}$$
=
-114.125

$$x_{21} = \frac{437}{8}$$
=
$$\frac{437}{8}$$
=
54.625
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 x_{3} + x_{1} + 5 x_{2} = 51$$
$$- 4 x_{3} + - x_{1} - 5 x_{2} = -15$$
$$- 4 x_{3} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 25$$
$$- 3 x_{3} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = -11$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + 5 x_{2} + 3 x_{3} = 51$$
$$- x_{1} - 5 x_{2} - 4 x_{3} = -15$$
$$2 x_{1} + 2 x_{2} - 4 x_{3} = 25$$
$$2 x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3} = -11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 3 & 51\\-1 & -5 & -4 & -15\\2 & 2 & -4 & 25\\2 & 2 & -3 & -11\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\2\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 3 & 51\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & 36\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & 36\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 3 & 51\\0 & 0 & -1 & 36\\2 & 2 & -4 & 25\\2 & 2 & -3 & -11\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -8 & -10 & -77\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -8 & -10 & -77\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 3 & 51\\0 & 0 & -1 & 36\\0 & -8 & -10 & -77\\2 & 2 & -3 & -11\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -8 & -9 & -113\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -8 & -9 & -113\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 3 & 51\\0 & 0 & -1 & 36\\0 & -8 & -10 & -77\\0 & -8 & -9 & -113\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\0\\-8\\-8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -8 & -10 & -77\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{25}{4} + 3 & - \frac{385}{8} + 51\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{13}{4} & \frac{23}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{13}{4} & \frac{23}{8}\\0 & 0 & -1 & 36\\0 & -8 & -10 & -77\\0 & -8 & -9 & -113\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & -36\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & -36\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{13}{4} & \frac{23}{8}\\0 & 0 & -1 & 36\\0 & -8 & -10 & -77\\0 & 0 & 1 & -36\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{13}{4}\\-1\\-10\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & 36\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{13}{4} - - \frac{13}{4} & - \frac{913}{8}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{913}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{913}{8}\\0 & 0 & -1 & 36\\0 & -8 & -10 & -77\\0 & 0 & 1 & -36\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -8 & 0 & -437\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -8 & 0 & -437\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{913}{8}\\0 & 0 & -1 & 36\\0 & -8 & 0 & -437\\0 & 0 & 1 & -36\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & - \frac{913}{8}\\0 & 0 & -1 & 36\\0 & -8 & 0 & -437\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + \frac{913}{8} = 0$$
$$- x_{3} - 36 = 0$$
$$- 8 x_{2} + 437 = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{913}{8}$$
$$x_{3} = -36$$
$$x_{2} = \frac{437}{8}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x11 = -114.125000000000
x21 = 54.6250000000000
x31 = -36.0000000000000