8*x1+9*x2+10*x3-3*x4=84 6*x1+5*x2+7*x3+3*x4=66 x1+2*x2+2*x3-3*x4=13 4*x1+x2+7*x3+9*x4=72
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
8*x1 + 9*x2 + 10*x3 - 3*x4 = 84
$$- 3 x_{4} + 10 x_{3} + 8 x_{1} + 9 x_{2} = 84$$
6*x1 + 5*x2 + 7*x3 + 3*x4 = 66
$$3 x_{4} + 7 x_{3} + 6 x_{1} + 5 x_{2} = 66$$
x1 + 2*x2 + 2*x3 - 3*x4 = 13
$$- 3 x_{4} + 2 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 13$$
4*x1 + x2 + 7*x3 + 9*x4 = 72
$$9 x_{4} + 7 x_{3} + 4 x_{1} + x_{2} = 72$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{31} = 8$$
=
$$8$$
=
$$x_{11} = - 3 x_{4} + 5$$
=
$$- 3 x_{4} + 5$$
=
$$x_{21} = 3 x_{4} - 4$$
=
$$3 x_{4} - 4$$
=
=
$$8$$
=
8
$$x_{11} = - 3 x_{4} + 5$$
=
$$- 3 x_{4} + 5$$
=
5 - 3*x4
$$x_{21} = 3 x_{4} - 4$$
=
$$3 x_{4} - 4$$
=
-4 + 3*x4
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 3 x_{4} + 10 x_{3} + 8 x_{1} + 9 x_{2} = 84$$
$$3 x_{4} + 7 x_{3} + 6 x_{1} + 5 x_{2} = 66$$
$$- 3 x_{4} + 2 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 13$$
$$9 x_{4} + 7 x_{3} + 4 x_{1} + x_{2} = 72$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x_{1} + 9 x_{2} + 10 x_{3} - 3 x_{4} = 84$$
$$6 x_{1} + 5 x_{2} + 7 x_{3} + 3 x_{4} = 66$$
$$x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 3 x_{4} = 13$$
$$4 x_{1} + x_{2} + 7 x_{3} + 9 x_{4} = 72$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\\6 & 5 & 7 & 3 & 66\\1 & 2 & 2 & -3 & 13\\4 & 1 & 7 & 9 & 72\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\6\\1\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{27}{4} + 5 & - \frac{15}{2} + 7 & - \frac{-9}{4} + 3 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\1 & 2 & 2 & -3 & 13\\4 & 1 & 7 & 9 & 72\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{8} + 2 & - \frac{5}{4} + 2 & -3 - - \frac{3}{8} & - \frac{21}{2} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & \frac{7}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} & \frac{5}{2}\\4 & 1 & 7 & 9 & 72\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} + 1 & 2 & - \frac{-3}{2} + 9 & 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 2 & \frac{21}{2} & 30\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & \frac{7}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} & \frac{5}{2}\\0 & - \frac{7}{2} & 2 & \frac{21}{2} & 30\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}9\\- \frac{7}{4}\\\frac{7}{8}\\- \frac{7}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & - \frac{18}{7} + 10 & 24 & - \frac{-108}{7} + 84\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & \frac{52}{7} & 24 & \frac{696}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & \frac{52}{7} & 24 & \frac{696}{7}\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & \frac{7}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} & \frac{5}{2}\\0 & - \frac{7}{2} & 2 & \frac{21}{2} & 30\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{8} + \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} - - \frac{21}{8} & - \frac{-3}{2} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & \frac{52}{7} & 24 & \frac{696}{7}\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & - \frac{7}{2} & 2 & \frac{21}{2} & 30\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} - - \frac{7}{2} & 3 & - \frac{21}{2} + \frac{21}{2} & 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 0 & 24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & \frac{52}{7} & 24 & \frac{696}{7}\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & 0 & 3 & 0 & 24\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{52}{7}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & - \frac{52}{7} + \frac{52}{7} & 24 & - \frac{416}{7} + \frac{696}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 24 & 40\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 24 & 40\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & 0 & 3 & 0 & 24\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{4} & 0 & \frac{21}{4} & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 24 & 40\\0 & - \frac{7}{4} & 0 & \frac{21}{4} & 7\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & 0 & 3 & 0 & 24\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 24 & 40\\0 & - \frac{7}{4} & 0 & \frac{21}{4} & 7\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} + 24 x_{4} - 40 = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{4} + \frac{21 x_{4}}{4} - 7 = 0$$
$$\frac{x_{3}}{2} - 4 = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - 3 x_{4} + 5$$
$$x_{2} = 3 x_{4} - 4$$
$$x_{3} = 8$$
где x4 - свободные переменные
$$- 3 x_{4} + 10 x_{3} + 8 x_{1} + 9 x_{2} = 84$$
$$3 x_{4} + 7 x_{3} + 6 x_{1} + 5 x_{2} = 66$$
$$- 3 x_{4} + 2 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2} = 13$$
$$9 x_{4} + 7 x_{3} + 4 x_{1} + x_{2} = 72$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x_{1} + 9 x_{2} + 10 x_{3} - 3 x_{4} = 84$$
$$6 x_{1} + 5 x_{2} + 7 x_{3} + 3 x_{4} = 66$$
$$x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 3 x_{4} = 13$$
$$4 x_{1} + x_{2} + 7 x_{3} + 9 x_{4} = 72$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\\6 & 5 & 7 & 3 & 66\\1 & 2 & 2 & -3 & 13\\4 & 1 & 7 & 9 & 72\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\6\\1\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{27}{4} + 5 & - \frac{15}{2} + 7 & - \frac{-9}{4} + 3 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\1 & 2 & 2 & -3 & 13\\4 & 1 & 7 & 9 & 72\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{8} + 2 & - \frac{5}{4} + 2 & -3 - - \frac{3}{8} & - \frac{21}{2} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} & \frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & \frac{7}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} & \frac{5}{2}\\4 & 1 & 7 & 9 & 72\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} + 1 & 2 & - \frac{-3}{2} + 9 & 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 2 & \frac{21}{2} & 30\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 9 & 10 & -3 & 84\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & \frac{7}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} & \frac{5}{2}\\0 & - \frac{7}{2} & 2 & \frac{21}{2} & 30\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}9\\- \frac{7}{4}\\\frac{7}{8}\\- \frac{7}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & - \frac{18}{7} + 10 & 24 & - \frac{-108}{7} + 84\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & \frac{52}{7} & 24 & \frac{696}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & \frac{52}{7} & 24 & \frac{696}{7}\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & \frac{7}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} & \frac{5}{2}\\0 & - \frac{7}{2} & 2 & \frac{21}{2} & 30\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{8} + \frac{7}{8} & - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} & - \frac{21}{8} - - \frac{21}{8} & - \frac{-3}{2} + \frac{5}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & \frac{52}{7} & 24 & \frac{696}{7}\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & - \frac{7}{2} & 2 & \frac{21}{2} & 30\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} - - \frac{7}{2} & 3 & - \frac{21}{2} + \frac{21}{2} & 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 0 & 24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & \frac{52}{7} & 24 & \frac{696}{7}\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & 0 & 3 & 0 & 24\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{52}{7}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & - \frac{52}{7} + \frac{52}{7} & 24 & - \frac{416}{7} + \frac{696}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 24 & 40\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 24 & 40\\0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 3\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & 0 & 3 & 0 & 24\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{4} & - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2} & \frac{21}{4} & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{4} & 0 & \frac{21}{4} & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 24 & 40\\0 & - \frac{7}{4} & 0 & \frac{21}{4} & 7\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & 0 & 3 & 0 & 24\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 24 & 40\\0 & - \frac{7}{4} & 0 & \frac{21}{4} & 7\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} + 24 x_{4} - 40 = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{4} + \frac{21 x_{4}}{4} - 7 = 0$$
$$\frac{x_{3}}{2} - 4 = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - 3 x_{4} + 5$$
$$x_{2} = 3 x_{4} - 4$$
$$x_{3} = 8$$
где x4 - свободные переменные