2*x+y-z=0 x-y-3*z=13 3*x-2*y+4*z=-15

Вы ввели

2*x + y - z = 0

$$- z + 2 x + y = 0$$

x - y - 3*z = 13

$$- 3 z + x - y = 13$$

3*x - 2*y + 4*z = -15

$$4 z + 3 x - 2 y = -15$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$z_{1} = -4$$
=
$$-4$$
=

-4

$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

Метод Крамера

$$- z + 2 x + y = 0$$
$$- 3 z + x - y = 13$$
$$4 z + 3 x - 2 y = -15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y - z = 0$$
$$x - y - 3 z = 13$$
$$3 x - 2 y + 4 z = -15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\\- 3 x_{3} + x_{1} - x_{2}\\4 x_{3} + 3 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\13\\-15\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 & -1\\1 & -1 & -3\\3 & -2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -34$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\13 & -1 & -3\\-15 & -2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 0 & -1\\1 & 13 & -3\\3 & -15 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{3} = - \frac{1}{34} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0\\1 & -1 & 13\\3 & -2 & -15\end{matrix}\right] \right )} = -4$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- z + 2 x + y = 0$$
$$- 3 z + x - y = 13$$
$$4 z + 3 x - 2 y = -15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y - z = 0$$
$$x - y - 3 z = 13$$
$$3 x - 2 y + 4 z = -15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & -1 & 0\\1 & -1 & -3 & 13\\3 & -2 & 4 & -15\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - \frac{1}{2} & -3 - - \frac{1}{2} & 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & 13\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & -1 & 0\\0 & - \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\3 & -2 & 4 & -15\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 - \frac{3}{2} & - \frac{-3}{2} + 4 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & \frac{11}{2} & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & -1 & 0\\0 & - \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{11}{2} & -15\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{3}{2}\\- \frac{7}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & 13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{5}{3} - 1 & - \frac{-26}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{8}{3} & \frac{26}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{8}{3} & \frac{26}{3}\\0 & - \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{11}{2} & -15\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} - - \frac{7}{2} & \frac{11}{2} - - \frac{35}{6} & - \frac{91}{3} - 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{34}{3} & - \frac{136}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{8}{3} & \frac{26}{3}\\0 & - \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\0 & 0 & \frac{34}{3} & - \frac{136}{3}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{8}{3}\\- \frac{5}{2}\\\frac{34}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{34}{3} & - \frac{136}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{8}{3} - - \frac{8}{3} & - \frac{32}{3} + \frac{26}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & -2\\0 & - \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\0 & 0 & \frac{34}{3} & - \frac{136}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & - \frac{5}{2} - - \frac{5}{2} & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & -2\\0 & - \frac{3}{2} & 0 & 3\\0 & 0 & \frac{34}{3} & - \frac{136}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} + 2 = 0$$
$$- \frac{3 x_{2}}{2} - 3 = 0$$
$$\frac{34 x_{3}}{3} + \frac{136}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -4$$

Численный ответ

x1 = -1.00000000000000
y1 = -2.00000000000000
z1 = -4.00000000000000