Дана система ур-ний $$8 x + y = 15$$ $$3 x - 5 y = -32$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$8 x + y = 15$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$8 x = - y + 15$$ $$8 x = - y + 15$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(- y + 15\right)$$ $$x = - \frac{y}{8} + \frac{15}{8}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$3 x - 5 y = -32$$ Получим: $$- 5 y + 3 \left(- \frac{y}{8} + \frac{15}{8}\right) = -32$$ $$- \frac{43 y}{8} + \frac{45}{8} = -32$$ Перенесем свободное слагаемое 45/8 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{43 y}{8} = - \frac{301}{8}$$ $$- \frac{43 y}{8} = - \frac{301}{8}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{43}{8} y}{- \frac{43}{8}} = 7$$ $$y = 7$$ Т.к. $$x = - \frac{y}{8} + \frac{15}{8}$$ то $$x = - \frac{7}{8} + \frac{15}{8}$$ $$x = 1$$
Ответ: $$x = 1$$ $$y = 7$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 1$$ = $$1$$ =
1
$$y_{1} = 7$$ = $$7$$ =
7
Метод Крамера
$$8 x + y = 15$$ $$3 x - 5 y = -32$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$8 x + y = 15$$ $$3 x - 5 y = -32$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}8 x_{1} + x_{2}\\3 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}15\\-32\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 1\\3 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -43$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{43} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}15 & 1\\-32 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 1$$ $$x_{2} = - \frac{1}{43} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 15\\3 & -32\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$8 x + y = 15$$ $$3 x - 5 y = -32$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$8 x + y = 15$$ $$3 x - 5 y = -32$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}8 & 1 & 15\\3 & -5 & -32\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}8 & 1 & 15\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -5 - \frac{3}{8} & -32 - \frac{45}{8}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{43}{8} & - \frac{301}{8}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}8 & 1 & 15\\0 & - \frac{43}{8} & - \frac{301}{8}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{43}{8}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{43}{8} & - \frac{301}{8}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 8\\0 & - \frac{43}{8} & - \frac{301}{8}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$8 x_{1} - 8 = 0$$ $$- \frac{43 x_{2}}{8} + \frac{301}{8} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 1$$ $$x_{2} = 7$$