8*x+y=15 3*x-5*y=-32

Вы ввели

8*x + y = 15

$$8 x + y = 15$$

3*x - 5*y = -32

$$3 x - 5 y = -32$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$8 x + y = 15$$
$$3 x - 5 y = -32$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x + y = 15$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$8 x = - y + 15$$
$$8 x = - y + 15$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(- y + 15\right)$$
$$x = - \frac{y}{8} + \frac{15}{8}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - 5 y = -32$$
Получим:
$$- 5 y + 3 \left(- \frac{y}{8} + \frac{15}{8}\right) = -32$$
$$- \frac{43 y}{8} + \frac{45}{8} = -32$$
Перенесем свободное слагаемое 45/8 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{43 y}{8} = - \frac{301}{8}$$
$$- \frac{43 y}{8} = - \frac{301}{8}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{43}{8} y}{- \frac{43}{8}} = 7$$
$$y = 7$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{8} + \frac{15}{8}$$
то
$$x = - \frac{7}{8} + \frac{15}{8}$$
$$x = 1$$

Ответ:
$$x = 1$$
$$y = 7$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=

7

Метод Крамера

$$8 x + y = 15$$
$$3 x - 5 y = -32$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + y = 15$$
$$3 x - 5 y = -32$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 x_{1} + x_{2}\\3 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}15\\-32\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 1\\3 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -43$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{43} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}15 & 1\\-32 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{43} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 15\\3 & -32\end{matrix}\right] \right )} = 7$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$8 x + y = 15$$
$$3 x - 5 y = -32$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + y = 15$$
$$3 x - 5 y = -32$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & 1 & 15\\3 & -5 & -32\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 1 & 15\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 - \frac{3}{8} & -32 - \frac{45}{8}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{43}{8} & - \frac{301}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 1 & 15\\0 & - \frac{43}{8} & - \frac{301}{8}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{43}{8}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{43}{8} & - \frac{301}{8}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 8\\0 & - \frac{43}{8} & - \frac{301}{8}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} - 8 = 0$$
$$- \frac{43 x_{2}}{8} + \frac{301}{8} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 7$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = 7.00000000000000