x+2*y+3*z=-7 2*x+y+2*z=-2 3*x+2*y+z=3
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x + 2*y + 3*z = -7
$$3 z + x + 2 y = -7$$
2*x + y + 2*z = -2
$$2 z + 2 x + y = -2$$
3*x + 2*y + z = 3
$$z + 3 x + 2 y = 3$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$z_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
=
$$2$$
=
2
$$z_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
-3
$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Метод Крамера
[TeX]
$$3 z + x + 2 y = -7$$
$$2 z + 2 x + y = -2$$
$$z + 3 x + 2 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y + 3 z = -7$$
$$2 x + y + 2 z = -2$$
$$3 x + 2 y + z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\2 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\\x_{3} + 3 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-7\\-2\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 1 & 2\\3 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 8$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-7 & 2 & 3\\-2 & 1 & 2\\3 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -7 & 3\\2 & -2 & 2\\3 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{3} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & -7\\2 & 1 & -2\\3 & 2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
$$2 z + 2 x + y = -2$$
$$z + 3 x + 2 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y + 3 z = -7$$
$$2 x + y + 2 z = -2$$
$$3 x + 2 y + z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\2 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\\x_{3} + 3 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-7\\-2\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 1 & 2\\3 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 8$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-7 & 2 & 3\\-2 & 1 & 2\\3 & 2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -7 & 3\\2 & -2 & 2\\3 & 3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{3} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & -7\\2 & 1 & -2\\3 & 2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 z + x + 2 y = -7$$
$$2 z + 2 x + y = -2$$
$$z + 3 x + 2 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y + 3 z = -7$$
$$2 x + y + 2 z = -2$$
$$3 x + 2 y + z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -7\\2 & 1 & 2 & -2\\3 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -4 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -4 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -7\\0 & -3 & -4 & 12\\3 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -8 & 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -8 & 24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -7\\0 & -3 & -4 & 12\\0 & -4 & -8 & 24\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-3\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -4 & 12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{8}{3} + 3 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & 1\\0 & -3 & -4 & 12\\0 & -4 & -8 & 24\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -8 - - \frac{16}{3} & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & 1\\0 & -3 & -4 & 12\\0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-4\\- \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & -3 & -4 & 12\\0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & -3 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$- 3 x_{2} = 0$$
$$- \frac{8 x_{3}}{3} - 8 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -3$$
$$3 z + x + 2 y = -7$$
$$2 z + 2 x + y = -2$$
$$z + 3 x + 2 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y + 3 z = -7$$
$$2 x + y + 2 z = -2$$
$$3 x + 2 y + z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -7\\2 & 1 & 2 & -2\\3 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -4 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -4 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -7\\0 & -3 & -4 & 12\\3 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -8 & 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -8 & 24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & -7\\0 & -3 & -4 & 12\\0 & -4 & -8 & 24\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-3\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -4 & 12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{8}{3} + 3 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & 1\\0 & -3 & -4 & 12\\0 & -4 & -8 & 24\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -8 - - \frac{16}{3} & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & 1\\0 & -3 & -4 & 12\\0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-4\\- \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & -3 & -4 & 12\\0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & -3 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{8}{3} & 8\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$- 3 x_{2} = 0$$
$$- \frac{8 x_{3}}{3} - 8 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -3$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 2.00000000000000 y1 = 1.033975765691285e-25 z1 = -3.00000000000000
x2 = 2.00000000000000 y2 = 2.584939414228211e-25 z2 = -3.00000000000000
x3 = 2.00000000000000 y3 = 2.32644547280539e-25 z3 = -3.00000000000000
x4 = 2.00000000000000 y4 = 2.067951531382569e-25 z4 = -3.00000000000000
x5 = 2.00000000000000 y5 = 5.169878828456423e-25 z5 = -3.00000000000000
x6 = 2.00000000000000 y6 = 8.271806125530277e-25 z6 = -3.00000000000000
x7 = 2.00000000000000 y7 = 6.203854594147708e-25 z7 = -3.00000000000000
x8 = 2.00000000000000 y8 = 7.237830359838992e-25 z8 = -3.00000000000000
x9 = 2.00000000000000 y9 = 5.169878828456423e-26 z9 = -3.00000000000000
x10 = 2.00000000000000 y10 = 6.979336418416171e-25 z10 = -3.00000000000000
x11 = 2.00000000000000 y11 = 5.686866711302065e-25 z11 = -3.00000000000000
x12 = 2.00000000000000 y12 = 7.754818242684634e-26 z12 = -3.00000000000000
x13 = 2.00000000000000 y13 = -4.135903062765138e-25 z13 = -3.00000000000000
x14 = 2.00000000000000 y14 = 4.135903062765138e-25 z14 = -3.00000000000000
x15 = 2.00000000000000 y15 = 3.877409121342317e-25 z15 = -3.00000000000000
x16 = 2.00000000000000 y16 = 8.788794008375919e-25 z16 = -3.00000000000000
x17 = 2.00000000000000 y17 = -2.067951531382569e-25 z17 = -3.00000000000000
x18 = 2.00000000000000 y18 = 1.008126371549002e-24 z18 = -3.00000000000000