x+5*y+z=7 2*x-y-z=0 x-2*y-z=2
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x + 5*y + z = 7
$$z + x + 5 y = 7$$
2*x - y - z = 0
$$- z + 2 x - y = 0$$
x - 2*y - z = 2
$$- z + x - 2 y = 2$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -15$$
=
$$-15$$
=
$$z_{1} = -43$$
=
$$-43$$
=
$$y_{1} = 13$$
=
$$13$$
=
=
$$-15$$
=
-15
$$z_{1} = -43$$
=
$$-43$$
=
-43
$$y_{1} = 13$$
=
$$13$$
=
13
Метод Крамера
[TeX]
$$z + x + 5 y = 7$$
$$- z + 2 x - y = 0$$
$$- z + x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y + z = 7$$
$$2 x - y - z = 0$$
$$x - 2 y - z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + x_{1} + 5 x_{2}\\- x_{3} + 2 x_{1} - x_{2}\\- x_{3} + x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\0\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1\\2 & -1 & -1\\1 & -2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 5 & 1\\0 & -1 & -1\\2 & -2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -15$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 7 & 1\\2 & 0 & -1\\1 & 2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
$$x_{3} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5 & 7\\2 & -1 & 0\\1 & -2 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -43$$
$$- z + 2 x - y = 0$$
$$- z + x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y + z = 7$$
$$2 x - y - z = 0$$
$$x - 2 y - z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + x_{1} + 5 x_{2}\\- x_{3} + 2 x_{1} - x_{2}\\- x_{3} + x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\0\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1\\2 & -1 & -1\\1 & -2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 5 & 1\\0 & -1 & -1\\2 & -2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -15$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 7 & 1\\2 & 0 & -1\\1 & 2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
$$x_{3} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5 & 7\\2 & -1 & 0\\1 & -2 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -43$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$z + x + 5 y = 7$$
$$- z + 2 x - y = 0$$
$$- z + x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y + z = 7$$
$$2 x - y - z = 0$$
$$x - 2 y - z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 7\\2 & -1 & -1 & 0\\1 & -2 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & -3 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & -3 & -14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 7\\0 & -11 & -3 & -14\\1 & -2 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & -2 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -7 & -2 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 7\\0 & -11 & -3 & -14\\0 & -7 & -2 & -5\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-11\\-7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & -3 & -14\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{15}{11} + 1 & - \frac{70}{11} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{4}{11} & \frac{7}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{4}{11} & \frac{7}{11}\\0 & -11 & -3 & -14\\0 & -7 & -2 & -5\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 - - \frac{21}{11} & -5 - - \frac{98}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{4}{11} & \frac{7}{11}\\0 & -11 & -3 & -14\\0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{4}{11}\\-3\\- \frac{1}{11}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{4}{11} - - \frac{4}{11} & - \frac{172}{11} + \frac{7}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -15\\0 & -11 & -3 & -14\\0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & 0 & -143\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & 0 & -143\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -15\\0 & -11 & 0 & -143\\0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 15 = 0$$
$$- 11 x_{2} + 143 = 0$$
$$- \frac{x_{3}}{11} - \frac{43}{11} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -15$$
$$x_{2} = 13$$
$$x_{3} = -43$$
$$z + x + 5 y = 7$$
$$- z + 2 x - y = 0$$
$$- z + x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y + z = 7$$
$$2 x - y - z = 0$$
$$x - 2 y - z = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 7\\2 & -1 & -1 & 0\\1 & -2 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & -3 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & -3 & -14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 7\\0 & -11 & -3 & -14\\1 & -2 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & -2 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -7 & -2 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 7\\0 & -11 & -3 & -14\\0 & -7 & -2 & -5\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-11\\-7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & -3 & -14\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{15}{11} + 1 & - \frac{70}{11} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{4}{11} & \frac{7}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{4}{11} & \frac{7}{11}\\0 & -11 & -3 & -14\\0 & -7 & -2 & -5\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 - - \frac{21}{11} & -5 - - \frac{98}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{4}{11} & \frac{7}{11}\\0 & -11 & -3 & -14\\0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{4}{11}\\-3\\- \frac{1}{11}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{4}{11} - - \frac{4}{11} & - \frac{172}{11} + \frac{7}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -15\\0 & -11 & -3 & -14\\0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -11 & 0 & -143\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -11 & 0 & -143\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -15\\0 & -11 & 0 & -143\\0 & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{43}{11}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 15 = 0$$
$$- 11 x_{2} + 143 = 0$$
$$- \frac{x_{3}}{11} - \frac{43}{11} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -15$$
$$x_{2} = 13$$
$$x_{3} = -43$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -15.0000000000000 y1 = 13.0000000000000 z1 = -43.0000000000000