5*x+4*y=49 7*x+3*y=53

Вы ввели

5*x + 4*y = 49

$$5 x + 4 y = 49$$

7*x + 3*y = 53

$$7 x + 3 y = 53$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$5 x + 4 y = 49$$
$$7 x + 3 y = 53$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x + 4 y = 49$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = - 4 y + 49$$
$$5 x = - 4 y + 49$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- 4 y + 49\right)$$
$$x = - \frac{4 y}{5} + \frac{49}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$7 x + 3 y = 53$$
Получим:
$$3 y + 7 \left(- \frac{4 y}{5} + \frac{49}{5}\right) = 53$$
$$- \frac{13 y}{5} + \frac{343}{5} = 53$$
Перенесем свободное слагаемое 343/5 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{13 y}{5} = - \frac{78}{5}$$
$$- \frac{13 y}{5} = - \frac{78}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{13}{5} y}{- \frac{13}{5}} = 6$$
$$y = 6$$
Т.к.
$$x = - \frac{4 y}{5} + \frac{49}{5}$$
то
$$x = - \frac{24}{5} + \frac{49}{5}$$
$$x = 5$$

Ответ:
$$x = 5$$
$$y = 6$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = 6$$
=
$$6$$
=

6

Метод Крамера

$$5 x + 4 y = 49$$
$$7 x + 3 y = 53$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 4 y = 49$$
$$7 x + 3 y = 53$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + 4 x_{2}\\7 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}49\\53\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 4\\7 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -13$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}49 & 4\\53 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 49\\7 & 53\end{matrix}\right] \right )} = 6$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$5 x + 4 y = 49$$
$$7 x + 3 y = 53$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 4 y = 49$$
$$7 x + 3 y = 53$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 4 & 49\\7 & 3 & 53\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 4 & 49\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{28}{5} + 3 & - \frac{343}{5} + 53\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{13}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 4 & 49\\0 & - \frac{13}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{13}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{13}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 25\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 25\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 25\\0 & - \frac{13}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 25 = 0$$
$$- \frac{13 x_{2}}{5} + \frac{78}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 6$$

Численный ответ

x1 = 5.00000000000000
y1 = 6.00000000000000