x-2*y+3*z=-2 2*x+3*y-4*z=20 3*x-2*y-5*z=6

Вы ввели

x - 2*y + 3*z = -2

$$3 z + x - 2 y = -2$$

2*x + 3*y - 4*z = 20

$$- 4 z + 2 x + 3 y = 20$$

3*x - 2*y - 5*z = 6

$$- 5 z + 3 x - 2 y = 6$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{140}{29}$$
=
$$\frac{140}{29}$$
=

4.82758620689655

$$z_{1} = \frac{6}{29}$$
=
$$\frac{6}{29}$$
=

0.206896551724138

$$y_{1} = \frac{108}{29}$$
=
$$\frac{108}{29}$$
=

3.72413793103448

Метод Крамера

$$3 z + x - 2 y = -2$$
$$- 4 z + 2 x + 3 y = 20$$
$$- 5 z + 3 x - 2 y = 6$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 2 y + 3 z = -2$$
$$2 x + 3 y - 4 z = 20$$
$$3 x - 2 y - 5 z = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{3} + x_{1} - 2 x_{2}\\- 4 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2}\\- 5 x_{3} + 3 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2\\20\\6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -2 & 3\\2 & 3 & -4\\3 & -2 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -58$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{58} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & -2 & 3\\20 & 3 & -4\\6 & -2 & -5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{140}{29}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{58} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -2 & 3\\2 & 20 & -4\\3 & 6 & -5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{108}{29}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{58} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -2 & -2\\2 & 3 & 20\\3 & -2 & 6\end{matrix}\right] \right )} = \frac{6}{29}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 z + x - 2 y = -2$$
$$- 4 z + 2 x + 3 y = 20$$
$$- 5 z + 3 x - 2 y = 6$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 2 y + 3 z = -2$$
$$2 x + 3 y - 4 z = 20$$
$$3 x - 2 y - 5 z = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 3 & -2\\2 & 3 & -4 & 20\\3 & -2 & -5 & 6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 3 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -10 & 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -10 & 24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 3 & -2\\0 & 7 & -10 & 24\\3 & -2 & -5 & 6\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & -14 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & -14 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -2 & 3 & -2\\0 & 7 & -10 & 24\\0 & 4 & -14 & 12\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\7\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -10 & 24\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{20}{7} + 3 & -2 - - \frac{48}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{7} & \frac{34}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{7} & \frac{34}{7}\\0 & 7 & -10 & 24\\0 & 4 & -14 & 12\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -14 - - \frac{40}{7} & - \frac{96}{7} + 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{58}{7} & - \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{7} & \frac{34}{7}\\0 & 7 & -10 & 24\\0 & 0 & - \frac{58}{7} & - \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{1}{7}\\-10\\- \frac{58}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{58}{7} & - \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} & - \frac{6}{203} + \frac{34}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{140}{29}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{140}{29}\\0 & 7 & -10 & 24\\0 & 0 & - \frac{58}{7} & - \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & - \frac{-60}{29} + 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & \frac{756}{29}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{140}{29}\\0 & 7 & 0 & \frac{756}{29}\\0 & 0 & - \frac{58}{7} & - \frac{12}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{140}{29} = 0$$
$$7 x_{2} - \frac{756}{29} = 0$$
$$- \frac{58 x_{3}}{7} + \frac{12}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{140}{29}$$
$$x_{2} = \frac{108}{29}$$
$$x_{3} = \frac{6}{29}$$

Численный ответ

x1 = 4.827586206896552
y1 = 3.724137931034483
z1 = 0.2068965517241379