x+z+u=7 x+2*y+3*z+3*t+3*u=-2 x+3*y+5*z+7*t+9*u=5 7*x-y-2*z-3*t-7*u=0 2*y+7*t=0

Вы ввели

x + z + u = 7

$$u + x + z = 7$$

x + 2*y + 3*z + 3*t + 3*u = -2

$$3 u + 3 t + 3 z + x + 2 y = -2$$

x + 3*y + 5*z + 7*t + 9*u = 5

$$9 u + 7 t + 5 z + x + 3 y = 5$$

7*x - y - 2*z - 3*t - 7*u = 0

$$- 7 u + - 3 t + - 2 z + 7 x - y = 0$$

2*y + 7*t = 0

$$7 t + 2 y = 0$$

Быстрый ответ

$$u_{1} = - \frac{491}{190}$$
=
$$- \frac{491}{190}$$
=

-2.58421052631579

$$x_{1} = - \frac{39}{190}$$
=
$$- \frac{39}{190}$$
=

-0.205263157894737

$$z_{1} = \frac{186}{19}$$
=
$$\frac{186}{19}$$
=

9.78947368421053

$$y_{1} = - \frac{1946}{95}$$
=
$$- \frac{1946}{95}$$
=

-20.4842105263158

$$t_{1} = \frac{556}{95}$$
=
$$\frac{556}{95}$$
=

5.85263157894737

Метод Крамера

$$u + x + z = 7$$
$$3 u + 3 t + 3 z + x + 2 y = -2$$
$$9 u + 7 t + 5 z + x + 3 y = 5$$
$$- 7 u + - 3 t + - 2 z + 7 x - y = 0$$
$$7 t + 2 y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$u + x + z = 7$$
$$3 t + 3 u + x + 2 y + 3 z = -2$$
$$7 t + 9 u + x + 3 y + 5 z = 5$$
$$- 3 t - 7 u + 7 x - y - 2 z = 0$$
$$7 t + 2 y = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{5} + 0 x_{4} + x_{3} + 0 x_{1} + x_{2}\\3 x_{5} + 2 x_{4} + x_{3} + 3 x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{5} + 3 x_{4} + x_{3} + 7 x_{1} + 9 x_{2}\\- 2 x_{5} + - x_{4} + 7 x_{3} + - 3 x_{1} - 7 x_{2}\\0 x_{5} + 2 x_{4} + 0 x_{3} + 7 x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\-2\\5\\0\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1\\3 & 3 & 1 & 2 & 3\\7 & 9 & 1 & 3 & 5\\-3 & -7 & 7 & -1 & -2\\7 & 0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = -190$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{190} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1 & 1 & 0 & 1\\-2 & 3 & 1 & 2 & 3\\5 & 9 & 1 & 3 & 5\\0 & -7 & 7 & -1 & -2\\0 & 0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{556}{95}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{190} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 7 & 1 & 0 & 1\\3 & -2 & 1 & 2 & 3\\7 & 5 & 1 & 3 & 5\\-3 & 0 & 7 & -1 & -2\\7 & 0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{491}{190}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{190} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & 7 & 0 & 1\\3 & 3 & -2 & 2 & 3\\7 & 9 & 5 & 3 & 5\\-3 & -7 & 0 & -1 & -2\\7 & 0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{39}{190}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{190} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 7 & 1\\3 & 3 & 1 & -2 & 3\\7 & 9 & 1 & 5 & 5\\-3 & -7 & 7 & 0 & -2\\7 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{1946}{95}$$
$$x_{5} = - \frac{1}{190} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 7\\3 & 3 & 1 & 2 & -2\\7 & 9 & 1 & 3 & 5\\-3 & -7 & 7 & -1 & 0\\7 & 0 & 0 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = \frac{186}{19}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$u + x + z = 7$$
$$3 u + 3 t + 3 z + x + 2 y = -2$$
$$9 u + 7 t + 5 z + x + 3 y = 5$$
$$- 7 u + - 3 t + - 2 z + 7 x - y = 0$$
$$7 t + 2 y = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$u + x + z = 7$$
$$3 t + 3 u + x + 2 y + 3 z = -2$$
$$7 t + 9 u + x + 3 y + 5 z = 5$$
$$- 3 t - 7 u + 7 x - y - 2 z = 0$$
$$7 t + 2 y = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\3 & 3 & 1 & 2 & 3 & -2\\7 & 9 & 1 & 3 & 5 & 5\\-3 & -7 & 7 & -1 & -2 & 0\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\3\\7\\-3\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
5 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 5 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 1 & - \frac{6}{7} + 2 & 3 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 1 & \frac{8}{7} & 3 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 3 & 1 & \frac{8}{7} & 3 & -2\\7 & 9 & 1 & 3 & 5 & 5\\-3 & -7 & 7 & -1 & -2 & 0\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 9 & 1 & 1 & 5 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 9 & 1 & 1 & 5 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 3 & 1 & \frac{8}{7} & 3 & -2\\0 & 9 & 1 & 1 & 5 & 5\\-3 & -7 & 7 & -1 & -2 & 0\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -7 & 7 & -1 - - \frac{6}{7} & -2 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -7 & 7 & - \frac{1}{7} & -2 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 3 & 1 & \frac{8}{7} & 3 & -2\\0 & 9 & 1 & 1 & 5 & 5\\0 & -7 & 7 & - \frac{1}{7} & -2 & 0\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\\9\\-7\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 9 & 1 & 1 & 5 & 5\\0 & -7 & 7 & - \frac{1}{7} & -2 & 0\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -8 & 1 & -4 & -58\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -8 & 1 & -4 & -58\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & -8 & 1 & -4 & -58\\0 & -7 & 7 & - \frac{1}{7} & -2 & 0\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 14 & - \frac{1}{7} & 5 & 49\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 14 & - \frac{1}{7} & 5 & 49\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & -8 & 1 & -4 & -58\\0 & 0 & 14 & - \frac{1}{7} & 5 & 49\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\\-8\\14\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & - \frac{-4}{7} & 1 & - \frac{23}{2} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{4}{7} & 1 & - \frac{9}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{4}{7} & 1 & - \frac{9}{2}\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & -8 & 1 & -4 & -58\\0 & 0 & 14 & - \frac{1}{7} & 5 & 49\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{32}{7} + 1 & -4 & 34\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{25}{7} & -4 & 34\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{4}{7} & 1 & - \frac{9}{2}\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & 0 & - \frac{25}{7} & -4 & 34\\0 & 0 & 14 & - \frac{1}{7} & 5 & 49\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{55}{7} & 5 & -112\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{55}{7} & 5 & -112\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{4}{7} & 1 & - \frac{9}{2}\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & 0 & - \frac{25}{7} & -4 & 34\\0 & 0 & 0 & \frac{55}{7} & 5 & -112\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{4}{7}\\\frac{8}{7}\\- \frac{25}{7}\\\frac{55}{7}\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & - \frac{4}{7} + \frac{4}{7} & 1 & - \frac{9}{2} - - \frac{23}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & 0 & - \frac{25}{7} & -4 & 34\\0 & 0 & 0 & \frac{55}{7} & 5 & -112\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{25}{4} & - \frac{25}{7} - - \frac{25}{7} & -4 & - \frac{575}{8} + 34\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\\0 & 0 & 0 & \frac{55}{7} & 5 & -112\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{-55}{4} & - \frac{55}{7} + \frac{55}{7} & 5 & -112 - - \frac{1265}{8}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{55}{4} & 0 & 5 & \frac{369}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\\0 & 0 & \frac{55}{4} & 0 & 5 & \frac{369}{8}\\7 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{-7}{2} & 0 & 0 & - \frac{-161}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & 0 & \frac{161}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 7\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\\0 & 0 & \frac{55}{4} & 0 & 5 & \frac{369}{8}\\7 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & 0 & \frac{161}{4}\end{matrix}\right]$$
В 5 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\-4\\5\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{25}{16} + 1 & 0 & 0 & - \frac{303}{32} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{9}{16} & 0 & 0 & - \frac{79}{32}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{9}{16} & 0 & 0 & - \frac{79}{32}\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\\0 & 0 & \frac{55}{4} & 0 & 5 & \frac{369}{8}\\7 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & 0 & \frac{161}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{125}{16} + \frac{55}{4} & 0 & 0 & - \frac{1515}{32} + \frac{369}{8}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{95}{16} & 0 & 0 & - \frac{39}{32}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{9}{16} & 0 & 0 & - \frac{79}{32}\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\\0 & 0 & \frac{95}{16} & 0 & 0 & - \frac{39}{32}\\7 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & 0 & \frac{161}{4}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{9}{16}\\-2\\- \frac{25}{4}\\\frac{95}{16}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{95}{16} & 0 & 0 & - \frac{39}{32}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{9}{16} - - \frac{9}{16} & 0 & 0 & - \frac{79}{32} - \frac{351}{3040}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{491}{190}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{491}{190}\\0 & 0 & -2 & \frac{8}{7} & 0 & -23\\0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\\0 & 0 & \frac{95}{16} & 0 & 0 & - \frac{39}{32}\\7 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & 0 & \frac{161}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{8}{7} & 0 & -23 - \frac{39}{95}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{8}{7} & 0 & - \frac{2224}{95}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{491}{190}\\0 & 0 & 0 & \frac{8}{7} & 0 & - \frac{2224}{95}\\0 & 0 & - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8}\\0 & 0 & \frac{95}{16} & 0 & 0 & - \frac{39}{32}\\7 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & 0 & \frac{161}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{25}{4} - - \frac{25}{4} & 0 & -4 & - \frac{303}{8} - \frac{195}{152}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & -4 & - \frac{744}{19}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{491}{190}\\0 & 0 & 0 & \frac{8}{7} & 0 & - \frac{2224}{95}\\0 & 0 & 0 & 0 & -4 & - \frac{744}{19}\\0 & 0 & \frac{95}{16} & 0 & 0 & - \frac{39}{32}\\7 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & 0 & \frac{161}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{7}{2} + \frac{7}{2} & 0 & 0 & - \frac{-273}{380} + \frac{161}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3892}{95}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{491}{190}\\0 & 0 & 0 & \frac{8}{7} & 0 & - \frac{2224}{95}\\0 & 0 & 0 & 0 & -4 & - \frac{744}{19}\\0 & 0 & \frac{95}{16} & 0 & 0 & - \frac{39}{32}\\7 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3892}{95}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{2} + \frac{491}{190} = 0$$
$$\frac{8 x_{4}}{7} + \frac{2224}{95} = 0$$
$$- 4 x_{5} + \frac{744}{19} = 0$$
$$\frac{95 x_{3}}{16} + \frac{39}{32} = 0$$
$$7 x_{1} - \frac{3892}{95} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = - \frac{491}{190}$$
$$x_{4} = - \frac{1946}{95}$$
$$x_{5} = \frac{186}{19}$$
$$x_{3} = - \frac{39}{190}$$
$$x_{1} = \frac{556}{95}$$

Численный ответ

t1 = 5.852631578947368
u1 = -2.584210526315789
x1 = -0.2052631578947368
y1 = -20.48421052631579
z1 = 9.789473684210526