Дана система ур-ний $$x - 1 = \frac{y}{2} + 1$$ $$- y + 1 = x + 2$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$x - 1 = \frac{y}{2} + 1$$ Перенесем свободное слагаемое -1 из левой части в правую со сменой знака $$x = \frac{y}{2} + 1 + 1$$ $$x = \frac{y}{2} + 2$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- y + 1 = x + 2$$ Получим: $$- y + 1 = \frac{y}{2} + 2 + 2$$ $$- y + 1 = \frac{y}{2} + 4$$ Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака $$- \frac{y}{2} + - y + 1 = 4$$ $$- \frac{3 y}{2} + 1 = 4$$ Перенесем свободное слагаемое 1 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{3 y}{2} = 3$$ $$- \frac{3 y}{2} = 3$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{3}{2} y}{- \frac{3}{2}} = -2$$ $$y = -2$$ Т.к. $$x = \frac{y}{2} + 2$$ то $$x = \frac{-2}{2} + 2$$ $$x = 1$$
Ответ: $$x = 1$$ $$y = -2$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 1$$ = $$1$$ =
1
$$y_{1} = -2$$ = $$-2$$ =
-2
Метод Крамера
$$x - 1 = \frac{y}{2} + 1$$ $$- y + 1 = x + 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - \frac{y}{2} = 2$$ $$- x - y = 1$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} - \frac{x_{2}}{2}\\- x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2}\\-1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{3}{2}$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{2}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & - \frac{1}{2}\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$ $$x_{2} = - \frac{2}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2\\-1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x - 1 = \frac{y}{2} + 1$$ $$- y + 1 = x + 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - \frac{y}{2} = 2$$ $$- x - y = 1$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2} & 2\\-1 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2} & 2\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -1 - \frac{1}{2} & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & 3\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2} & 2\\0 & - \frac{3}{2} & 3\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{2}\\- \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & 3\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & - \frac{3}{2} & 3\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - 1 = 0$$ $$- \frac{3 x_{2}}{2} - 3 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 1$$ $$x_{2} = -2$$