b-a-d-6=0 a+c-b=0 d+6-c=0 8*a+11*b=10 110*b+22*d+(13+15)*c=0
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
b - a - d - 6 = 0
$$- d + - a + b - 6 = 0$$
a + c - b = 0
$$- b + a + c = 0$$
d + 6 - c = 0
$$- c + d + 6 = 0$$
8*a + 11*b = 10
$$8 a + 11 b = 10$$
110*b + 22*d + 28*c = 0
$$28 c + 110 b + 22 d = 0$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$c_{1} = \frac{704}{915}$$
=
$$\frac{704}{915}$$
=
$$b_{1} = \frac{778}{915}$$
=
$$\frac{778}{915}$$
=
$$a_{1} = \frac{74}{915}$$
=
$$\frac{74}{915}$$
=
$$d_{1} = - \frac{4786}{915}$$
=
$$- \frac{4786}{915}$$
=
=
$$\frac{704}{915}$$
=
0.769398907103825
$$b_{1} = \frac{778}{915}$$
=
$$\frac{778}{915}$$
=
0.850273224043716
$$a_{1} = \frac{74}{915}$$
=
$$\frac{74}{915}$$
=
0.0808743169398907
$$d_{1} = - \frac{4786}{915}$$
=
$$- \frac{4786}{915}$$
=
-5.23060109289617
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- d + - a + b - 6 = 0$$
$$- b + a + c = 0$$
$$- c + d + 6 = 0$$
$$8 a + 11 b = 10$$
$$28 c + 110 b + 22 d = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- a + b - d = 6$$
$$a - b + c = 0$$
$$- c + d = -6$$
$$8 a + 11 b = 10$$
$$110 b + 28 c + 22 d = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 6\\1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 11 & 0 & 0 & 10\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\1\\0\\8\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 11 & 0 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 - - \frac{11}{8} & 0 & -1 & - \frac{-5}{4} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 11 & 0 & 0 & 10\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{8} - 1 & 1 & 0 & - \frac{5}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{19}{8} & 1 & 0 & - \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & - \frac{19}{8} & 1 & 0 & - \frac{5}{4}\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 11 & 0 & 0 & 10\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{19}{8}\\- \frac{19}{8}\\0\\11\\110\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{19}{8} - - \frac{19}{8} & 1 & -1 & - \frac{5}{4} - - \frac{29}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & -1 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 11 & 0 & 0 & 10\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & - \frac{-88}{19} & - \frac{638}{19} + 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 28 & 22 - - \frac{880}{19} & - \frac{6380}{19}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 28 & \frac{1298}{19} & - \frac{6380}{19}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 28 & \frac{1298}{19} & - \frac{6380}{19}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\1\\-1\\0\\28\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & -1 & 6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 28 & \frac{1298}{19} & - \frac{6380}{19}\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\\0\\\frac{88}{19}\\\frac{1830}{19}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
5 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 5 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & - \frac{4786}{915} + \frac{29}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & \frac{7391}{3660}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & \frac{7391}{3660}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{4786}{915} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & \frac{704}{915}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & \frac{7391}{3660}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{704}{915}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & - \frac{88}{19} + \frac{88}{19} & - \frac{448}{19} - - \frac{421168}{17385}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 0 & \frac{592}{915}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & \frac{7391}{3660}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{704}{915}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & 0 & \frac{592}{915}\\0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{19 x_{2}}{8} - \frac{7391}{3660} = 0$$
$$x_{3} - \frac{704}{915} = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
$$8 x_{1} - \frac{592}{915} = 0$$
$$\frac{1830 x_{4}}{19} + \frac{9572}{19} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{778}{915}$$
$$x_{3} = \frac{704}{915}$$
$$x_{1} = \frac{74}{915}$$
$$x_{4} = - \frac{4786}{915}$$
$$- d + - a + b - 6 = 0$$
$$- b + a + c = 0$$
$$- c + d + 6 = 0$$
$$8 a + 11 b = 10$$
$$28 c + 110 b + 22 d = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- a + b - d = 6$$
$$a - b + c = 0$$
$$- c + d = -6$$
$$8 a + 11 b = 10$$
$$110 b + 28 c + 22 d = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 6\\1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 11 & 0 & 0 & 10\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\1\\0\\8\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 11 & 0 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 - - \frac{11}{8} & 0 & -1 & - \frac{-5}{4} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 11 & 0 & 0 & 10\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{8} - 1 & 1 & 0 & - \frac{5}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{19}{8} & 1 & 0 & - \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & - \frac{19}{8} & 1 & 0 & - \frac{5}{4}\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 11 & 0 & 0 & 10\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{19}{8}\\- \frac{19}{8}\\0\\11\\110\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{19}{8} - - \frac{19}{8} & 1 & -1 & - \frac{5}{4} - - \frac{29}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & -1 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 11 & 0 & 0 & 10\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & - \frac{-88}{19} & - \frac{638}{19} + 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 110 & 28 & 22 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 28 & 22 - - \frac{880}{19} & - \frac{6380}{19}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 28 & \frac{1298}{19} & - \frac{6380}{19}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & -1 & 1 & -6\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 28 & \frac{1298}{19} & - \frac{6380}{19}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\1\\-1\\0\\28\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & -1 & 6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 28 & \frac{1298}{19} & - \frac{6380}{19}\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & -1 & \frac{29}{4}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\\0\\\frac{88}{19}\\\frac{1830}{19}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
5 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 5 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & - \frac{4786}{915} + \frac{29}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & \frac{7391}{3660}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & \frac{7391}{3660}\\0 & 0 & 1 & -1 & 6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{4786}{915} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & \frac{704}{915}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & \frac{7391}{3660}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{704}{915}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & \frac{88}{19} & - \frac{448}{19}\\0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & - \frac{88}{19} + \frac{88}{19} & - \frac{448}{19} - - \frac{421168}{17385}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 0 & 0 & \frac{592}{915}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{8} & 0 & 0 & \frac{7391}{3660}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{704}{915}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 0 & 0 & 0 & \frac{592}{915}\\0 & 0 & 0 & \frac{1830}{19} & - \frac{9572}{19}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{19 x_{2}}{8} - \frac{7391}{3660} = 0$$
$$x_{3} - \frac{704}{915} = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
$$8 x_{1} - \frac{592}{915} = 0$$
$$\frac{1830 x_{4}}{19} + \frac{9572}{19} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{778}{915}$$
$$x_{3} = \frac{704}{915}$$
$$x_{1} = \frac{74}{915}$$
$$x_{4} = - \frac{4786}{915}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
a1 = 0.08087431693989071 b1 = 0.8502732240437158 c1 = 0.7693989071038251 d1 = -5.230601092896175