Дана система ур-ний $$3 x + 5 y = 16$$ $$2 x + 3 y = 9$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$3 x + 5 y = 16$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$3 x = - 5 y + 16$$ $$3 x = - 5 y + 16$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 5 y + 16\right)$$ $$x = - \frac{5 y}{3} + \frac{16}{3}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$2 x + 3 y = 9$$ Получим: $$3 y + 2 \left(- \frac{5 y}{3} + \frac{16}{3}\right) = 9$$ $$- \frac{y}{3} + \frac{32}{3} = 9$$ Перенесем свободное слагаемое 32/3 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{y}{3} = - \frac{5}{3}$$ $$- \frac{y}{3} = - \frac{5}{3}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{1}{3} y}{- \frac{1}{3}} = 5$$ $$y = 5$$ Т.к. $$x = - \frac{5 y}{3} + \frac{16}{3}$$ то $$x = - \frac{25}{3} + \frac{16}{3}$$ $$x = -3$$
Ответ: $$x = -3$$ $$y = 5$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -3$$ = $$-3$$ =
-3
$$y_{1} = 5$$ = $$5$$ =
5
Метод Крамера
$$3 x + 5 y = 16$$ $$2 x + 3 y = 9$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x + 5 y = 16$$ $$2 x + 3 y = 9$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 5 x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}16\\9\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 5\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -1$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & 5\\9 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -3$$ $$x_{2} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 16\\2 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$3 x + 5 y = 16$$ $$2 x + 3 y = 9$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x + 5 y = 16$$ $$2 x + 3 y = 9$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 16\\2 & 3 & 9\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 16\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{10}{3} + 3 & - \frac{32}{3} + 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 16\\0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\\0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$3 x_{1} + 9 = 0$$ $$- \frac{x_{2}}{3} + \frac{5}{3} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = -3$$ $$x_{2} = 5$$