3*x+5*y=16 2*x+3*y=9

Вы ввели

3*x + 5*y = 16

$$3 x + 5 y = 16$$

2*x + 3*y = 9

$$2 x + 3 y = 9$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x + 5 y = 16$$
$$2 x + 3 y = 9$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + 5 y = 16$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - 5 y + 16$$
$$3 x = - 5 y + 16$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 5 y + 16\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{3} + \frac{16}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 3 y = 9$$
Получим:
$$3 y + 2 \left(- \frac{5 y}{3} + \frac{16}{3}\right) = 9$$
$$- \frac{y}{3} + \frac{32}{3} = 9$$
Перенесем свободное слагаемое 32/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{y}{3} = - \frac{5}{3}$$
$$- \frac{y}{3} = - \frac{5}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{1}{3} y}{- \frac{1}{3}} = 5$$
$$y = 5$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{3} + \frac{16}{3}$$
то
$$x = - \frac{25}{3} + \frac{16}{3}$$
$$x = -3$$

Ответ:
$$x = -3$$
$$y = 5$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=

-3

$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

Метод Крамера

$$3 x + 5 y = 16$$
$$2 x + 3 y = 9$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 5 y = 16$$
$$2 x + 3 y = 9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 5 x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}16\\9\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 5\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & 5\\9 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 16\\2 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 5$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x + 5 y = 16$$
$$2 x + 3 y = 9$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 5 y = 16$$
$$2 x + 3 y = 9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 16\\2 & 3 & 9\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 16\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{10}{3} + 3 & - \frac{32}{3} + 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 16\\0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -9\\0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} + 9 = 0$$
$$- \frac{x_{2}}{3} + \frac{5}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 5$$

Численный ответ

x1 = -3.00000000000000
y1 = 5.00000000000000