351*x/1000+y=-143/250 867*x/1000+y=-403/200

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

351*x       -143 
----- + y = -----
 1000        250 

$$\frac{351 x}{1000} + y = - \frac{143}{250}$$

867*x       -403 
----- + y = -----
 1000        200 

$$\frac{867 x}{1000} + y = - \frac{403}{200}$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$\frac{351 x}{1000} + y = - \frac{143}{250}$$
$$\frac{867 x}{1000} + y = - \frac{403}{200}$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$\frac{351 x}{1000} + y = - \frac{143}{250}$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{351 x}{1000} = - \frac{1}{1000} \left(-1 \cdot 351 x\right) - \frac{351 x}{1000} - y - \frac{143}{250}$$
$$\frac{351 x}{1000} = - y - \frac{143}{250}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{\frac{351}{1000} x}{\frac{351}{1000}} = \frac{1}{\frac{351}{1000}} \left(- y - \frac{143}{250}\right)$$
$$x = - \frac{1000 y}{351} - \frac{44}{27}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$\frac{867 x}{1000} + y = - \frac{403}{200}$$
Получим:
$$y + \frac{867}{1000} \left(- \frac{1000 y}{351} - \frac{44}{27}\right) = - \frac{403}{200}$$
$$- \frac{172 y}{117} - \frac{3179}{2250} = - \frac{403}{200}$$
Перенесем свободное слагаемое -3179/2250 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{172 y}{117} = - \frac{5419}{9000}$$
$$- \frac{172 y}{117} = - \frac{5419}{9000}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{172}{117} y}{- \frac{172}{117}} = \frac{70447}{172000}$$
$$y = \frac{70447}{172000}$$
Т.к.
$$x = - \frac{1000 y}{351} - \frac{44}{27}$$
то
$$x = - \frac{44}{27} - \frac{5419}{4644}$$
$$x = - \frac{481}{172}$$

Ответ:
$$x = - \frac{481}{172}$$
$$y = \frac{70447}{172000}$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = - \frac{481}{172}$$
=
$$- \frac{481}{172}$$
=

-2.79651162790698

$$y_{1} = \frac{70447}{172000}$$
=
$$\frac{70447}{172000}$$
=

0.409575581395349

Метод Крамера

[TeX]

$$\frac{351 x}{1000} + y = - \frac{143}{250}$$
$$\frac{867 x}{1000} + y = - \frac{403}{200}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{351 x}{1000} + y = - \frac{143}{250}$$
$$\frac{867 x}{1000} + y = - \frac{403}{200}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{351 x_{1}}{1000} + x_{2}\\\frac{867 x_{1}}{1000} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{143}{250}\\- \frac{403}{200}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{351}{1000} & 1\\\frac{867}{1000} & 1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{129}{250}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{250}{129} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{143}{250} & 1\\- \frac{403}{200} & 1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{481}{172}$$
$$x_{2} = - \frac{250}{129} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{351}{1000} & - \frac{143}{250}\\\frac{867}{1000} & - \frac{403}{200}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{70447}{172000}$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$\frac{351 x}{1000} + y = - \frac{143}{250}$$
$$\frac{867 x}{1000} + y = - \frac{403}{200}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{351 x}{1000} + y = - \frac{143}{250}$$
$$\frac{867 x}{1000} + y = - \frac{403}{200}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{351}{1000} & 1 & - \frac{143}{250}\\\frac{867}{1000} & 1 & - \frac{403}{200}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{351}{1000}\\\frac{867}{1000}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{351}{1000} & 1 & - \frac{143}{250}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{867}{1000} + \frac{867}{1000} & - \frac{289}{117} + 1 & - \frac{403}{200} - - \frac{3179}{2250}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{172}{117} & - \frac{5419}{9000}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{351}{1000} & 1 & - \frac{143}{250}\\0 & - \frac{172}{117} & - \frac{5419}{9000}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{172}{117}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{172}{117} & - \frac{5419}{9000}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{351}{1000} & 0 & - \frac{143}{250} - \frac{70447}{172000}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{351}{1000} & 0 & - \frac{168831}{172000}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{351}{1000} & 0 & - \frac{168831}{172000}\\0 & - \frac{172}{117} & - \frac{5419}{9000}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{351 x_{1}}{1000} + \frac{168831}{172000} = 0$$
$$- \frac{172 x_{2}}{117} + \frac{5419}{9000} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{481}{172}$$
$$x_{2} = \frac{70447}{172000}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = -2.796511627906977
y1 = 0.409575581395349