y-3*x=7 2*x+3*y=23
Решение
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$- 3 x + y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- 3 x = - 3 x - - 3 x - y + 7$$
$$- 3 x = - y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{1}{-3} \left(-1 \cdot 3 x\right) = \frac{1}{-3} \left(- y + 7\right)$$
$$x = \frac{y}{3} - \frac{7}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 3 y = 23$$
Получим:
$$3 y + 2 \left(\frac{y}{3} - \frac{7}{3}\right) = 23$$
$$\frac{11 y}{3} - \frac{14}{3} = 23$$
Перенесем свободное слагаемое -14/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{11 y}{3} = \frac{83}{3}$$
$$\frac{11 y}{3} = \frac{83}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{11}{3} y}{\frac{11}{3}} = \frac{83}{11}$$
$$y = \frac{83}{11}$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{3} - \frac{7}{3}$$
то
$$x = - \frac{7}{3} + \frac{83}{33}$$
$$x = \frac{2}{11}$$
Ответ:
$$x = \frac{2}{11}$$
$$y = \frac{83}{11}$$
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$- 3 x + y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- 3 x = - 3 x - - 3 x - y + 7$$
$$- 3 x = - y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{1}{-3} \left(-1 \cdot 3 x\right) = \frac{1}{-3} \left(- y + 7\right)$$
$$x = \frac{y}{3} - \frac{7}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 3 y = 23$$
Получим:
$$3 y + 2 \left(\frac{y}{3} - \frac{7}{3}\right) = 23$$
$$\frac{11 y}{3} - \frac{14}{3} = 23$$
Перенесем свободное слагаемое -14/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{11 y}{3} = \frac{83}{3}$$
$$\frac{11 y}{3} = \frac{83}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{11}{3} y}{\frac{11}{3}} = \frac{83}{11}$$
$$y = \frac{83}{11}$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{3} - \frac{7}{3}$$
то
$$x = - \frac{7}{3} + \frac{83}{33}$$
$$x = \frac{2}{11}$$
Ответ:
$$x = \frac{2}{11}$$
$$y = \frac{83}{11}$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = \frac{2}{11}$$
=
$$\frac{2}{11}$$
=
$$y_{1} = \frac{83}{11}$$
=
$$\frac{83}{11}$$
=
=
$$\frac{2}{11}$$
=
0.181818181818182
$$y_{1} = \frac{83}{11}$$
=
$$\frac{83}{11}$$
=
7.54545454545454
Метод Крамера
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 3 x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1\\23 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2}{11}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & 7\\2 & 23\end{matrix}\right] \right )} = \frac{83}{11}$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 3 x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1\\23 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2}{11}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & 7\\2 & 23\end{matrix}\right] \right )} = \frac{83}{11}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 7\\2 & 3 & 23\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-2}{3} + 3 & - \frac{-14}{3} + 23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & \frac{83}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 7\\0 & \frac{11}{3} & \frac{83}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & \frac{83}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-3 & 0 & - \frac{83}{11} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3 & 0 & - \frac{6}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-3 & 0 & - \frac{6}{11}\\0 & \frac{11}{3} & \frac{83}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 3 x_{1} + \frac{6}{11} = 0$$
$$\frac{11 x_{2}}{3} - \frac{83}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{2}{11}$$
$$x_{2} = \frac{83}{11}$$
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 3 x + y = 7$$
$$2 x + 3 y = 23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 7\\2 & 3 & 23\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-2}{3} + 3 & - \frac{-14}{3} + 23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & \frac{83}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & 7\\0 & \frac{11}{3} & \frac{83}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & \frac{83}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-3 & 0 & - \frac{83}{11} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3 & 0 & - \frac{6}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-3 & 0 & - \frac{6}{11}\\0 & \frac{11}{3} & \frac{83}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 3 x_{1} + \frac{6}{11} = 0$$
$$\frac{11 x_{2}}{3} - \frac{83}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{2}{11}$$
$$x_{2} = \frac{83}{11}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.1818181818181818 y1 = 7.545454545454545