3*(2*x+y)+4*x+4*y=-27/5 3*(x+2*y)=-33/5
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[src]
3*(2*x + y) + 4*x + 4*y = -27/5
$$4 y + 4 x + 3 \left(2 x + y\right) = - \frac{27}{5}$$
3*(x + 2*y) = -33/5
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$4 y + 4 x + 3 \left(2 x + y\right) = - \frac{27}{5}$$
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 y + 4 x + 3 \left(2 x + y\right) = - \frac{27}{5}$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$10 x = - -1 \cdot 6 x - 4 y - 6 x + 3 y - \frac{27}{5}$$
$$10 x = - 7 y - \frac{27}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10} \left(- 7 y - \frac{27}{5}\right)$$
$$x = - \frac{7 y}{10} - \frac{27}{50}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Получим:
$$3 \left(2 y + - \frac{7 y}{10} - \frac{27}{50}\right) = - \frac{33}{5}$$
$$\frac{39 y}{10} - \frac{81}{50} = - \frac{33}{5}$$
Перенесем свободное слагаемое -81/50 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{39 y}{10} = - \frac{249}{50}$$
$$\frac{39 y}{10} = - \frac{249}{50}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{39}{10} y}{\frac{39}{10}} = - \frac{83}{65}$$
$$y = - \frac{83}{65}$$
Т.к.
$$x = - \frac{7 y}{10} - \frac{27}{50}$$
то
$$x = - \frac{27}{50} - - \frac{581}{650}$$
$$x = \frac{23}{65}$$
Ответ:
$$x = \frac{23}{65}$$
$$y = - \frac{83}{65}$$
$$4 y + 4 x + 3 \left(2 x + y\right) = - \frac{27}{5}$$
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 y + 4 x + 3 \left(2 x + y\right) = - \frac{27}{5}$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$10 x = - -1 \cdot 6 x - 4 y - 6 x + 3 y - \frac{27}{5}$$
$$10 x = - 7 y - \frac{27}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10} \left(- 7 y - \frac{27}{5}\right)$$
$$x = - \frac{7 y}{10} - \frac{27}{50}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Получим:
$$3 \left(2 y + - \frac{7 y}{10} - \frac{27}{50}\right) = - \frac{33}{5}$$
$$\frac{39 y}{10} - \frac{81}{50} = - \frac{33}{5}$$
Перенесем свободное слагаемое -81/50 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{39 y}{10} = - \frac{249}{50}$$
$$\frac{39 y}{10} = - \frac{249}{50}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{39}{10} y}{\frac{39}{10}} = - \frac{83}{65}$$
$$y = - \frac{83}{65}$$
Т.к.
$$x = - \frac{7 y}{10} - \frac{27}{50}$$
то
$$x = - \frac{27}{50} - - \frac{581}{650}$$
$$x = \frac{23}{65}$$
Ответ:
$$x = \frac{23}{65}$$
$$y = - \frac{83}{65}$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = \frac{23}{65}$$
=
$$\frac{23}{65}$$
=
$$y_{1} = - \frac{83}{65}$$
=
$$- \frac{83}{65}$$
=
=
$$\frac{23}{65}$$
=
0.353846153846154
$$y_{1} = - \frac{83}{65}$$
=
$$- \frac{83}{65}$$
=
-1.27692307692308
Метод Крамера
$$4 y + 4 x + 3 \left(2 x + y\right) = - \frac{27}{5}$$
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$10 x + 7 y = - \frac{27}{5}$$
$$3 x + 6 y = - \frac{33}{5}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}10 x_{1} + 7 x_{2}\\3 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{27}{5}\\- \frac{33}{5}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & 7\\3 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 39$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{39} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{27}{5} & 7\\- \frac{33}{5} & 6\end{matrix}\right] \right )} = \frac{23}{65}$$
$$x_{2} = \frac{1}{39} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & - \frac{27}{5}\\3 & - \frac{33}{5}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{83}{65}$$
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$10 x + 7 y = - \frac{27}{5}$$
$$3 x + 6 y = - \frac{33}{5}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}10 x_{1} + 7 x_{2}\\3 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{27}{5}\\- \frac{33}{5}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & 7\\3 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 39$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{39} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{27}{5} & 7\\- \frac{33}{5} & 6\end{matrix}\right] \right )} = \frac{23}{65}$$
$$x_{2} = \frac{1}{39} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & - \frac{27}{5}\\3 & - \frac{33}{5}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{83}{65}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$4 y + 4 x + 3 \left(2 x + y\right) = - \frac{27}{5}$$
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$10 x + 7 y = - \frac{27}{5}$$
$$3 x + 6 y = - \frac{33}{5}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}10 & 7 & - \frac{27}{5}\\3 & 6 & - \frac{33}{5}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}10 & 7 & - \frac{27}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{21}{10} + 6 & - \frac{33}{5} - - \frac{81}{50}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{39}{10} & - \frac{249}{50}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}10 & 7 & - \frac{27}{5}\\0 & \frac{39}{10} & - \frac{249}{50}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\\frac{39}{10}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{39}{10} & - \frac{249}{50}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & - \frac{27}{5} - - \frac{581}{65}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10 & 0 & \frac{46}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & \frac{46}{13}\\0 & \frac{39}{10} & - \frac{249}{50}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$10 x_{1} - \frac{46}{13} = 0$$
$$\frac{39 x_{2}}{10} + \frac{249}{50} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{23}{65}$$
$$x_{2} = - \frac{83}{65}$$
$$4 y + 4 x + 3 \left(2 x + y\right) = - \frac{27}{5}$$
$$3 \left(x + 2 y\right) = - \frac{33}{5}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$10 x + 7 y = - \frac{27}{5}$$
$$3 x + 6 y = - \frac{33}{5}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}10 & 7 & - \frac{27}{5}\\3 & 6 & - \frac{33}{5}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}10 & 7 & - \frac{27}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{21}{10} + 6 & - \frac{33}{5} - - \frac{81}{50}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{39}{10} & - \frac{249}{50}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}10 & 7 & - \frac{27}{5}\\0 & \frac{39}{10} & - \frac{249}{50}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\\frac{39}{10}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{39}{10} & - \frac{249}{50}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & - \frac{27}{5} - - \frac{581}{65}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10 & 0 & \frac{46}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & \frac{46}{13}\\0 & \frac{39}{10} & - \frac{249}{50}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$10 x_{1} - \frac{46}{13} = 0$$
$$\frac{39 x_{2}}{10} + \frac{249}{50} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{23}{65}$$
$$x_{2} = - \frac{83}{65}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.3538461538461537 y1 = -1.276923076923077