2*x+5*y=20 x-3*y=-1

Вы ввели

2*x + 5*y = 20

$$2 x + 5 y = 20$$

x - 3*y = -1

$$x - 3 y = -1$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = 20$$
$$x - 3 y = -1$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 5 y = 20$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 5 y + 20$$
$$2 x = - 5 y + 20$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 5 y + 20\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{2} + 10$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - 3 y = -1$$
Получим:
$$- 3 y + - \frac{5 y}{2} + 10 = -1$$
$$- \frac{11 y}{2} + 10 = -1$$
Перенесем свободное слагаемое 10 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{11 y}{2} = -11$$
$$- \frac{11 y}{2} = -11$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{11}{2} y}{- \frac{11}{2}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{2} + 10$$
то
$$x = - 5 + 10$$
$$x = 5$$

Ответ:
$$x = 5$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$2 x + 5 y = 20$$
$$x - 3 y = -1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = 20$$
$$x - 3 y = -1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 5 x_{2}\\x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}20\\-1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\1 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}20 & 5\\-1 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 20\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + 5 y = 20$$
$$x - 3 y = -1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 5 y = 20$$
$$x - 3 y = -1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 20\\1 & -3 & -1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 20\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - \frac{5}{2} & -11\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{2} & -11\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 5 & 20\\0 & - \frac{11}{2} & -11\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{2} & -11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 10\\0 & - \frac{11}{2} & -11\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 10 = 0$$
$$- \frac{11 x_{2}}{2} + 11 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

x1 = 5.00000000000000
y1 = 2.00000000000000