167*x/20-7*y/2=-547/40 13*x/4+91*y/40-5*z/4=3.65620000000000 y+z/4=-7/4
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
167*x 7*y -547 ----- - --- = ----- 20 2 40
$$\frac{167 x}{20} - \frac{7 y}{2} = - \frac{547}{40}$$
13*x 91*y 5*z ---- + ---- - --- = 3.6562 4 40 4
$$- \frac{5 z}{4} + \frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} = 3.6562$$
z
y + - = -7/4
4
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -1.62662079484202$$
=
$$-1.62662079484202$$
=
$$z_{1} = -7.1059615577933$$
=
$$-7.1059615577933$$
=
$$y_{1} = 0.0264903894483249$$
=
$$0.0264903894483249$$
=
=
$$-1.62662079484202$$
=
-1.62662079484202
$$z_{1} = -7.1059615577933$$
=
$$-7.1059615577933$$
=
-7.10596155779330
$$y_{1} = 0.0264903894483249$$
=
$$0.0264903894483249$$
=
0.0264903894483249
Метод Крамера
[TeX]
$$\frac{167 x}{20} - \frac{7 y}{2} = - \frac{547}{40}$$
$$- \frac{5 z}{4} + \frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} = 3.6562$$
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{167 x}{20} - \frac{7 y}{2} = - \frac{547}{40}$$
$$\frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} - \frac{5 z}{4} = 3.6562$$
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + \frac{167 x_{1}}{20} - \frac{7 x_{2}}{2}\\- 1.25 x_{3} + 3.25 x_{1} + 2.275 x_{2}\\\frac{x_{3}}{4} + 0 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{547}{40}\\3.6562\\- \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0\\3.25 & 2.275 & -1.25\\0 & 1 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right] \right )} = 18.0303125$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = 0.0554621557446661 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{547}{40} & - \frac{7}{2} & 0\\3.6562 & 2.275 & -1.25\\- \frac{7}{4} & 1 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right] \right )} = -1.62662079484202$$
$$x_{2} = 0.0554621557446661 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{547}{40} & 0\\3.25 & 3.6562 & -1.25\\0 & - \frac{7}{4} & \frac{1}{4}\end{matrix}\right] \right )} = 0.0264903894483251$$
$$x_{3} = 0.0554621557446661 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & - \frac{547}{40}\\3.25 & 2.275 & 3.6562\\0 & 1 & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right] \right )} = -7.1059615577933$$
$$- \frac{5 z}{4} + \frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} = 3.6562$$
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{167 x}{20} - \frac{7 y}{2} = - \frac{547}{40}$$
$$\frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} - \frac{5 z}{4} = 3.6562$$
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + \frac{167 x_{1}}{20} - \frac{7 x_{2}}{2}\\- 1.25 x_{3} + 3.25 x_{1} + 2.275 x_{2}\\\frac{x_{3}}{4} + 0 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{547}{40}\\3.6562\\- \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0\\3.25 & 2.275 & -1.25\\0 & 1 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right] \right )} = 18.0303125$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = 0.0554621557446661 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{547}{40} & - \frac{7}{2} & 0\\3.6562 & 2.275 & -1.25\\- \frac{7}{4} & 1 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right] \right )} = -1.62662079484202$$
$$x_{2} = 0.0554621557446661 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{547}{40} & 0\\3.25 & 3.6562 & -1.25\\0 & - \frac{7}{4} & \frac{1}{4}\end{matrix}\right] \right )} = 0.0264903894483251$$
$$x_{3} = 0.0554621557446661 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & - \frac{547}{40}\\3.25 & 2.275 & 3.6562\\0 & 1 & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right] \right )} = -7.1059615577933$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$\frac{167 x}{20} - \frac{7 y}{2} = - \frac{547}{40}$$
$$- \frac{5 z}{4} + \frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} = 3.6562$$
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{167 x}{20} - \frac{7 y}{2} = - \frac{547}{40}$$
$$\frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} - \frac{5 z}{4} = 3.6562$$
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\\frac{13}{4} & \frac{16}{7} & - \frac{5}{4} & \frac{11}{3}\\0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20}\\\frac{13}{4}\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{13}{4} + \frac{13}{4} & - \frac{-455}{334} + \frac{16}{7} & - \frac{5}{4} & \frac{11}{3} - - \frac{7111}{1336}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{8529}{2338} & - \frac{5}{4} & \frac{36029}{4008}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\0 & \frac{8529}{2338} & - \frac{5}{4} & \frac{36029}{4008}\\0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{7}{2}\\\frac{8529}{2338}\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{-8529}{980} & - \frac{8529}{2338} + \frac{8529}{2338} & - \frac{5}{4} & - \frac{4665363}{327320} + \frac{36029}{4008}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\\0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{-167}{70} & 0 & \frac{1}{4} & - \frac{547}{140} - \frac{7}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{167}{70} & 0 & \frac{1}{4} & - \frac{198}{35}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\\\frac{167}{70} & 0 & \frac{1}{4} & - \frac{198}{35}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\- \frac{5}{4}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{-8529}{4900} + \frac{167}{70} & 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} & - \frac{198}{35} - \frac{3869}{3675}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\\\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20}\\\frac{8529}{980}\\\frac{20219}{4900}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{167}{20} + \frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40} - - \frac{4118053}{303285}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{46991}{485256}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{46991}{485256}\\\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\\\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{8529}{980} + \frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735} - - \frac{70105537}{4953655}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{4} & \frac{539140}{60657}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{46991}{485256}\\0 & 0 & - \frac{5}{4} & \frac{539140}{60657}\\\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- \frac{7 x_{2}}{2} + \frac{46991}{485256} = 0$$
$$- \frac{5 x_{3}}{4} - \frac{539140}{60657} = 0$$
$$\frac{20219 x_{1}}{4900} + \frac{24659}{3675} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{6713}{242628}$$
$$x_{3} = - \frac{431312}{60657}$$
$$x_{1} = - \frac{98636}{60657}$$
$$\frac{167 x}{20} - \frac{7 y}{2} = - \frac{547}{40}$$
$$- \frac{5 z}{4} + \frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} = 3.6562$$
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{167 x}{20} - \frac{7 y}{2} = - \frac{547}{40}$$
$$\frac{13 x}{4} + \frac{91 y}{40} - \frac{5 z}{4} = 3.6562$$
$$y + \frac{z}{4} = - \frac{7}{4}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\\frac{13}{4} & \frac{16}{7} & - \frac{5}{4} & \frac{11}{3}\\0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20}\\\frac{13}{4}\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{13}{4} + \frac{13}{4} & - \frac{-455}{334} + \frac{16}{7} & - \frac{5}{4} & \frac{11}{3} - - \frac{7111}{1336}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{8529}{2338} & - \frac{5}{4} & \frac{36029}{4008}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\0 & \frac{8529}{2338} & - \frac{5}{4} & \frac{36029}{4008}\\0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{7}{2}\\\frac{8529}{2338}\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{-8529}{980} & - \frac{8529}{2338} + \frac{8529}{2338} & - \frac{5}{4} & - \frac{4665363}{327320} + \frac{36029}{4008}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\\0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{7}{4}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{-167}{70} & 0 & \frac{1}{4} & - \frac{547}{140} - \frac{7}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{167}{70} & 0 & \frac{1}{4} & - \frac{198}{35}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\\\frac{167}{70} & 0 & \frac{1}{4} & - \frac{198}{35}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\- \frac{5}{4}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{-8529}{4900} + \frac{167}{70} & 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} & - \frac{198}{35} - \frac{3869}{3675}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40}\\\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\\\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{167}{20}\\\frac{8529}{980}\\\frac{20219}{4900}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{167}{20} + \frac{167}{20} & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{547}{40} - - \frac{4118053}{303285}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{46991}{485256}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{46991}{485256}\\\frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735}\\\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{8529}{980} + \frac{8529}{980} & 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{3869}{735} - - \frac{70105537}{4953655}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{4} & \frac{539140}{60657}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & - \frac{46991}{485256}\\0 & 0 & - \frac{5}{4} & \frac{539140}{60657}\\\frac{20219}{4900} & 0 & 0 & - \frac{24659}{3675}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- \frac{7 x_{2}}{2} + \frac{46991}{485256} = 0$$
$$- \frac{5 x_{3}}{4} - \frac{539140}{60657} = 0$$
$$\frac{20219 x_{1}}{4900} + \frac{24659}{3675} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{6713}{242628}$$
$$x_{3} = - \frac{431312}{60657}$$
$$x_{1} = - \frac{98636}{60657}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -1.62662079484202 y1 = 0.02649038944832492 z1 = -7.10596155779330