(-sqrt(3))*y-2*z=-x (-sqrt(3))*x+2*y+2*sqrt(3)=-y -2*x+2*sqrt(3)-3*z=-z

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

   ___             
-\/ 3 *y - 2*z = -x

$$- \sqrt{3} y - 2 z = - x$$

   ___               ___     
-\/ 3 *x + 2*y + 2*\/ 3  = -y

$$- \sqrt{3} x + 2 y + 2 \sqrt{3} = - y$$

           ___           
-2*x + 2*\/ 3  - 3*z = -z

$$- 3 z + - 2 x + 2 \sqrt{3} = - z$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$
=
$$-1 + \sqrt{3}$$
=

0.732050807568877

$$z_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = - \sqrt{3} + 1$$
=
$$- \sqrt{3} + 1$$
=

-0.732050807568877

Метод Крамера

[TeX]

$$- \sqrt{3} y - 2 z = - x$$
$$- \sqrt{3} x + 2 y + 2 \sqrt{3} = - y$$
$$- 3 z + - 2 x + 2 \sqrt{3} = - z$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - \sqrt{3} y - 2 z = 0$$
$$- \sqrt{3} x + 3 y + 2 \sqrt{3} = 0$$
$$- 2 x - 2 z + 2 \sqrt{3} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 2 x_{3} + x_{1} + - \sqrt{3} x_{2}\\0 x_{3} + - \sqrt{3} x_{1} + 3 x_{2}\\- 2 x_{3} + - 2 x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\- 2 \sqrt{3}\\- 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & - \sqrt{3} & -2\\- \sqrt{3} & 3 & 0\\-2 & 0 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -12$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{12} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & - \sqrt{3} & -2\\- 2 \sqrt{3} & 3 & 0\\- 2 \sqrt{3} & 0 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -1 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{12} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\\- \sqrt{3} & - 2 \sqrt{3} & 0\\-2 & - 2 \sqrt{3} & -2\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{\sqrt{3}}{6} \left(- 2 \sqrt{3} + 6\right)$$
=
$$- \sqrt{3} + 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{12} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & - \sqrt{3} & 0\\- \sqrt{3} & 3 & - 2 \sqrt{3}\\-2 & 0 & - 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$- \sqrt{3} y - 2 z = - x$$
$$- \sqrt{3} x + 2 y + 2 \sqrt{3} = - y$$
$$- 3 z + - 2 x + 2 \sqrt{3} = - z$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - \sqrt{3} y - 2 z = 0$$
$$- \sqrt{3} x + 3 y + 2 \sqrt{3} = 0$$
$$- 2 x - 2 z + 2 \sqrt{3} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & - \sqrt{3} & -2 & 0\\- \sqrt{3} & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3}\\-2 & 0 & -2 & - 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \sqrt{3}\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \sqrt{3} & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- 1 + 1 & - \sqrt{3} - - \sqrt{3} & -2 - 0 & - 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\\- \sqrt{3} & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3}\\-2 & 0 & -2 & - 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 - -2 & - 2 \sqrt{3} & -2 - 0 & - 2 \sqrt{3} - -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - 2 \sqrt{3} & -2 & - 2 \sqrt{3} + 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\\- \sqrt{3} & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3}\\0 & - 2 \sqrt{3} & -2 & - 2 \sqrt{3} + 4\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\3\\- 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \sqrt{3} & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- 2 & - 2 \sqrt{3} - - 2 \sqrt{3} & -2 - 0 & - 4 + - 2 \sqrt{3} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & -2 & - 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\\- \sqrt{3} & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3}\\-2 & 0 & -2 & - 2 \sqrt{3}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\0\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & - 2 \sqrt{3} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & - 2 \sqrt{3} + 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\\- \sqrt{3} & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3}\\-2 & 0 & 0 & - 2 \sqrt{3} + 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\- \sqrt{3}\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & - 2 \sqrt{3} + 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \sqrt{3} - - \sqrt{3} & - 0 + 3 & - 0 & - 2 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \left(- 2 \sqrt{3} + 2\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \left(- 2 \sqrt{3} + 2\right)\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -2\\0 & 3 & 0 & - 2 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \left(- 2 \sqrt{3} + 2\right)\\-2 & 0 & 0 & - 2 \sqrt{3} + 2\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 2 x_{3} + 2 = 0$$
$$3 x_{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left(- 2 \sqrt{3} + 2\right) + 2 \sqrt{3} = 0$$
$$- 2 x_{1} - 2 + 2 \sqrt{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{3} = 1$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} + 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 0.7320508075688773
y1 = -0.7320508075688773
z1 = 1.00000000000000