8*x-2*y=2 -4*x+4*y=20
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
8*x - 2*y = 2
$$8 x - 2 y = 2$$
-4*x + 4*y = 20
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x - 2 y = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$8 x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 2$$
$$8 x = 2 y + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(2 y + 2\right)$$
$$x = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Получим:
$$4 y - 4 \left(\frac{y}{4} + \frac{1}{4}\right) = 20$$
$$3 y - 1 = 20$$
Перенесем свободное слагаемое -1 из левой части в правую со сменой знака
$$3 y = 21$$
$$3 y = 21$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{3 y}{3} = 7$$
$$y = 7$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$$
то
$$x = \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x = 2$$
Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 7$$
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x - 2 y = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$8 x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 2$$
$$8 x = 2 y + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(2 y + 2\right)$$
$$x = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Получим:
$$4 y - 4 \left(\frac{y}{4} + \frac{1}{4}\right) = 20$$
$$3 y - 1 = 20$$
Перенесем свободное слагаемое -1 из левой части в правую со сменой знака
$$3 y = 21$$
$$3 y = 21$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{3 y}{3} = 7$$
$$y = 7$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$$
то
$$x = \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x = 2$$
Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 7$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
=
$$2$$
=
2
$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
7
Метод Крамера
[TeX]
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 x_{1} - 2 x_{2}\\- 4 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\20\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & -2\\-4 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 24$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -2\\20 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 2\\-4 & 20\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 x_{1} - 2 x_{2}\\- 4 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\20\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & -2\\-4 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 24$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -2\\20 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 2\\-4 & 20\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\\-4 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\\0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\\0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} - 16 = 0$$
$$3 x_{2} - 21 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 7$$
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\\-4 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\\0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\\0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} - 16 = 0$$
$$3 x_{2} - 21 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 7$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 2.00000000000000 y1 = 7.00000000000000