8*x-2*y=2 -4*x+4*y=20

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

8*x - 2*y = 2

$$8 x - 2 y = 2$$

-4*x + 4*y = 20

$$- 4 x + 4 y = 20$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x - 2 y = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$8 x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 2$$
$$8 x = 2 y + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(2 y + 2\right)$$
$$x = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Получим:
$$4 y - 4 \left(\frac{y}{4} + \frac{1}{4}\right) = 20$$
$$3 y - 1 = 20$$
Перенесем свободное слагаемое -1 из левой части в правую со сменой знака
$$3 y = 21$$
$$3 y = 21$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{3 y}{3} = 7$$
$$y = 7$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$$
то
$$x = \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 7$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=

7

Метод Крамера

[TeX]

$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 x_{1} - 2 x_{2}\\- 4 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\20\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & -2\\-4 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 24$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -2\\20 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 2\\-4 & 20\end{matrix}\right] \right )} = 7$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x - 2 y = 2$$
$$- 4 x + 4 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\\-4 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\\0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\\0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} - 16 = 0$$
$$3 x_{2} - 21 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 7$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 2.00000000000000
y1 = 7.00000000000000