Дана система ур-ний $$8 x - 2 y = 2$$ $$- 4 x + 4 y = 20$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$8 x - 2 y = 2$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$8 x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 2$$ $$8 x = 2 y + 2$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(2 y + 2\right)$$ $$x = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- 4 x + 4 y = 20$$ Получим: $$4 y - 4 \left(\frac{y}{4} + \frac{1}{4}\right) = 20$$ $$3 y - 1 = 20$$ Перенесем свободное слагаемое -1 из левой части в правую со сменой знака $$3 y = 21$$ $$3 y = 21$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{3 y}{3} = 7$$ $$y = 7$$ Т.к. $$x = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$$ то $$x = \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$$ $$x = 2$$
Ответ: $$x = 2$$ $$y = 7$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$y_{1} = 7$$ = $$7$$ =
7
Метод Крамера
$$8 x - 2 y = 2$$ $$- 4 x + 4 y = 20$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$8 x - 2 y = 2$$ $$- 4 x + 4 y = 20$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}8 x_{1} - 2 x_{2}\\- 4 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\20\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & -2\\-4 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 24$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -2\\20 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 2\\-4 & 20\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$8 x - 2 y = 2$$ $$- 4 x + 4 y = 20$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$8 x - 2 y = 2$$ $$- 4 x + 4 y = 20$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\\-4 & 4 & 20\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}8 & -2 & 2\\0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\\0 & 3 & 21\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$8 x_{1} - 16 = 0$$ $$3 x_{2} - 21 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = 7$$