3*a-b-c+4*d=-24 2*a+b-3*c ... +c+d=9 4*a+4*b+3*c-3*d=21

Вы ввели

3*a - b - c + 4*d = -24

$$4 d + - c + 3 a - b = -24$$

2*a + b - 3*c + 4*d = -26

$$4 d + - 3 c + 2 a + b = -26$$

a - b + c + d = 9

$$d + c + a - b = 9$$

4*a + 4*b + 3*c - 3*d = 21

$$- 3 d + 3 c + 4 a + 4 b = 21$$

Быстрый ответ

$$c_{1} = \frac{904}{37}$$
=
$$\frac{904}{37}$$
=

24.4324324324324

$$b_{1} = \frac{566}{37}$$
=
$$\frac{566}{37}$$
=

15.2972972972973

$$a_{1} = - \frac{602}{37}$$
=
$$- \frac{602}{37}$$
=

-16.2702702702703

$$d_{1} = \frac{597}{37}$$
=
$$\frac{597}{37}$$
=

16.1351351351351

Метод Крамера

$$4 d + - c + 3 a - b = -24$$
$$4 d + - 3 c + 2 a + b = -26$$
$$d + c + a - b = 9$$
$$- 3 d + 3 c + 4 a + 4 b = 21$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 a - b - c + 4 d = -24$$
$$2 a + b - 3 c + 4 d = -26$$
$$a - b + c + d = 9$$
$$4 a + 4 b + 3 c - 3 d = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{4} + - x_{3} + 3 x_{1} - x_{2}\\4 x_{4} + - 3 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\\x_{4} + x_{3} + x_{1} - x_{2}\\- 3 x_{4} + 3 x_{3} + 4 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-24\\-26\\9\\21\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & -1 & 4\\2 & 1 & -3 & 4\\1 & -1 & 1 & 1\\4 & 4 & 3 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -37$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{37} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-24 & -1 & -1 & 4\\-26 & 1 & -3 & 4\\9 & -1 & 1 & 1\\21 & 4 & 3 & -3\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{602}{37}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{37} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -24 & -1 & 4\\2 & -26 & -3 & 4\\1 & 9 & 1 & 1\\4 & 21 & 3 & -3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{566}{37}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{37} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & -24 & 4\\2 & 1 & -26 & 4\\1 & -1 & 9 & 1\\4 & 4 & 21 & -3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{904}{37}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{37} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & -1 & -24\\2 & 1 & -3 & -26\\1 & -1 & 1 & 9\\4 & 4 & 3 & 21\end{matrix}\right] \right )} = \frac{597}{37}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$4 d + - c + 3 a - b = -24$$
$$4 d + - 3 c + 2 a + b = -26$$
$$d + c + a - b = 9$$
$$- 3 d + 3 c + 4 a + 4 b = 21$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 a - b - c + 4 d = -24$$
$$2 a + b - 3 c + 4 d = -26$$
$$a - b + c + d = 9$$
$$4 a + 4 b + 3 c - 3 d = 21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & -1 & 4 & -24\\2 & 1 & -3 & 4 & -26\\1 & -1 & 1 & 1 & 9\\4 & 4 & 3 & -3 & 21\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\\1\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & -1 & 4 & -24\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-2}{3} + 1 & -3 - - \frac{2}{3} & - \frac{8}{3} + 4 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & -1 & 4 & -24\\0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\\1 & -1 & 1 & 1 & 9\\4 & 4 & 3 & -3 & 21\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - - \frac{1}{3} & - \frac{-1}{3} + 1 & - \frac{4}{3} + 1 & 17\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 17\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & -1 & 4 & -24\\0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\\0 & - \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 17\\4 & 4 & 3 & -3 & 21\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-4}{3} + 4 & - \frac{-4}{3} + 3 & - \frac{16}{3} - 3 & 53\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{16}{3} & \frac{13}{3} & - \frac{25}{3} & 53\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & -1 & 4 & -24\\0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\\0 & - \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 17\\0 & \frac{16}{3} & \frac{13}{3} & - \frac{25}{3} & 53\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{5}{3}\\- \frac{2}{3}\\\frac{16}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{7}{5} - 1 & - \frac{-4}{5} + 4 & -30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{12}{5} & \frac{24}{5} & -30\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{12}{5} & \frac{24}{5} & -30\\0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\\0 & - \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & 17\\0 & \frac{16}{3} & \frac{13}{3} & - \frac{25}{3} & 53\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{2}{3} - - \frac{2}{3} & - \frac{14}{15} + \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} - - \frac{8}{15} & 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{12}{5} & \frac{24}{5} & -30\\0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\\0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\\0 & \frac{16}{3} & \frac{13}{3} & - \frac{25}{3} & 53\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{16}{3} + \frac{16}{3} & \frac{13}{3} - - \frac{112}{15} & - \frac{25}{3} - \frac{64}{15} & 85\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{59}{5} & - \frac{63}{5} & 85\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{12}{5} & \frac{24}{5} & -30\\0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\\0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\\0 & 0 & \frac{59}{5} & - \frac{63}{5} & 85\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{12}{5}\\- \frac{7}{3}\\\frac{2}{5}\\\frac{59}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{12}{5} - - \frac{12}{5} & - \frac{-6}{5} + \frac{24}{5} & 48\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 6 & 48\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 6 & 48\\0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} & \frac{4}{3} & -10\\0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\\0 & 0 & \frac{59}{5} & - \frac{63}{5} & 85\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & - \frac{7}{3} - - \frac{7}{3} & - \frac{-7}{6} + \frac{4}{3} & -10 - - \frac{455}{6}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{5}{2} & \frac{395}{6}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 6 & 48\\0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{5}{2} & \frac{395}{6}\\0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\\0 & 0 & \frac{59}{5} & - \frac{63}{5} & 85\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{59}{5} + \frac{59}{5} & - \frac{63}{5} - \frac{59}{10} & - \frac{767}{2} + 85\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{37}{2} & - \frac{597}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 6 & 48\\0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{5}{2} & \frac{395}{6}\\0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\\0 & 0 & 0 & - \frac{37}{2} & - \frac{597}{2}\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\\frac{5}{2}\\\frac{1}{5}\\- \frac{37}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{37}{2} & - \frac{597}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & - \frac{3582}{37} + 48\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1806}{37}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1806}{37}\\0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{5}{2} & \frac{395}{6}\\0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\\0 & 0 & 0 & - \frac{37}{2} & - \frac{597}{2}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} & - \frac{2985}{74} + \frac{395}{6}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & 0 & 0 & \frac{2830}{111}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1806}{37}\\0 & \frac{5}{3} & 0 & 0 & \frac{2830}{111}\\0 & 0 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 13\\0 & 0 & 0 & - \frac{37}{2} & - \frac{597}{2}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} & - \frac{597}{185} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1808}{185}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1806}{37}\\0 & \frac{5}{3} & 0 & 0 & \frac{2830}{111}\\0 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1808}{185}\\0 & 0 & 0 & - \frac{37}{2} & - \frac{597}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} + \frac{1806}{37} = 0$$
$$\frac{5 x_{2}}{3} - \frac{2830}{111} = 0$$
$$\frac{2 x_{3}}{5} - \frac{1808}{185} = 0$$
$$- \frac{37 x_{4}}{2} + \frac{597}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{602}{37}$$
$$x_{2} = \frac{566}{37}$$
$$x_{3} = \frac{904}{37}$$
$$x_{4} = \frac{597}{37}$$

Численный ответ

a1 = -16.27027027027027
b1 = 15.2972972972973
c1 = 24.43243243243243
d1 = 16.13513513513514