5*x+20*y+90*z=17/50 20*x+90*y+440*z=6051/500 90*x+440*y+2274*z=12489/125
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
17
5*x + 20*y + 90*z = --
50
$$90 z + 5 x + 20 y = \frac{17}{50}$$
6051
20*x + 90*y + 440*z = ----
500
$$440 z + 20 x + 90 y = \frac{6051}{500}$$
12489
90*x + 440*y + 2274*z = -----
125
$$2274 z + 90 x + 440 y = \frac{12489}{125}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{2267}{625}$$
=
$$\frac{2267}{625}$$
=
$$z_{1} = \frac{491}{875}$$
=
$$\frac{491}{875}$$
=
$$y_{1} = - \frac{119523}{35000}$$
=
$$- \frac{119523}{35000}$$
=
=
$$\frac{2267}{625}$$
=
3.6272
$$z_{1} = \frac{491}{875}$$
=
$$\frac{491}{875}$$
=
0.561142857142857
$$y_{1} = - \frac{119523}{35000}$$
=
$$- \frac{119523}{35000}$$
=
-3.41494285714286
Метод Крамера
[TeX]
$$90 z + 5 x + 20 y = \frac{17}{50}$$
$$440 z + 20 x + 90 y = \frac{6051}{500}$$
$$2274 z + 90 x + 440 y = \frac{12489}{125}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 20 y + 90 z = \frac{17}{50}$$
$$20 x + 90 y + 440 z = \frac{6051}{500}$$
$$90 x + 440 y + 2274 z = \frac{12489}{125}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}90 x_{3} + 5 x_{1} + 20 x_{2}\\440 x_{3} + 20 x_{1} + 90 x_{2}\\2274 x_{3} + 90 x_{1} + 440 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{17}{50}\\\frac{6051}{500}\\\frac{12489}{125}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90\\20 & 90 & 440\\90 & 440 & 2274\end{matrix}\right] \right )} = 700$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{700} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{17}{50} & 20 & 90\\\frac{6051}{500} & 90 & 440\\\frac{12489}{125} & 440 & 2274\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2267}{625}$$
$$x_{2} = \frac{1}{700} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & \frac{17}{50} & 90\\20 & \frac{6051}{500} & 440\\90 & \frac{12489}{125} & 2274\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{119523}{35000}$$
$$x_{3} = \frac{1}{700} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 20 & \frac{17}{50}\\20 & 90 & \frac{6051}{500}\\90 & 440 & \frac{12489}{125}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{491}{875}$$
$$440 z + 20 x + 90 y = \frac{6051}{500}$$
$$2274 z + 90 x + 440 y = \frac{12489}{125}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 20 y + 90 z = \frac{17}{50}$$
$$20 x + 90 y + 440 z = \frac{6051}{500}$$
$$90 x + 440 y + 2274 z = \frac{12489}{125}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}90 x_{3} + 5 x_{1} + 20 x_{2}\\440 x_{3} + 20 x_{1} + 90 x_{2}\\2274 x_{3} + 90 x_{1} + 440 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{17}{50}\\\frac{6051}{500}\\\frac{12489}{125}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90\\20 & 90 & 440\\90 & 440 & 2274\end{matrix}\right] \right )} = 700$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{700} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{17}{50} & 20 & 90\\\frac{6051}{500} & 90 & 440\\\frac{12489}{125} & 440 & 2274\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2267}{625}$$
$$x_{2} = \frac{1}{700} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & \frac{17}{50} & 90\\20 & \frac{6051}{500} & 440\\90 & \frac{12489}{125} & 2274\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{119523}{35000}$$
$$x_{3} = \frac{1}{700} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 20 & \frac{17}{50}\\20 & 90 & \frac{6051}{500}\\90 & 440 & \frac{12489}{125}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{491}{875}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$90 z + 5 x + 20 y = \frac{17}{50}$$
$$440 z + 20 x + 90 y = \frac{6051}{500}$$
$$2274 z + 90 x + 440 y = \frac{12489}{125}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 20 y + 90 z = \frac{17}{50}$$
$$20 x + 90 y + 440 z = \frac{6051}{500}$$
$$90 x + 440 y + 2274 z = \frac{12489}{125}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90 & \frac{17}{50}\\20 & 90 & 440 & \frac{6051}{500}\\90 & 440 & 2274 & \frac{12489}{125}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\20\\90\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90 & \frac{17}{50}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 10 & 80 & - \frac{34}{25} + \frac{6051}{500}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90 & \frac{17}{50}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\90 & 440 & 2274 & \frac{12489}{125}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 80 & 654 & - \frac{153}{25} + \frac{12489}{125}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 80 & 654 & \frac{11724}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90 & \frac{17}{50}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\0 & 80 & 654 & \frac{11724}{125}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}20\\10\\80\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -70 & - \frac{5371}{250} + \frac{17}{50}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & -70 & - \frac{2643}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -70 & - \frac{2643}{125}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\0 & 80 & 654 & \frac{11724}{125}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 14 & - \frac{10742}{125} + \frac{11724}{125}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -70 & - \frac{2643}{125}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-70\\80\\14\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & - \frac{2643}{125} - - \frac{982}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & \frac{2267}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & \frac{2267}{125}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 10 & 0 & - \frac{7856}{175} + \frac{5371}{500}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 10 & 0 & - \frac{119523}{3500}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & \frac{2267}{125}\\0 & 10 & 0 & - \frac{119523}{3500}\\0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - \frac{2267}{125} = 0$$
$$10 x_{2} + \frac{119523}{3500} = 0$$
$$14 x_{3} - \frac{982}{125} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{2267}{625}$$
$$x_{2} = - \frac{119523}{35000}$$
$$x_{3} = \frac{491}{875}$$
$$90 z + 5 x + 20 y = \frac{17}{50}$$
$$440 z + 20 x + 90 y = \frac{6051}{500}$$
$$2274 z + 90 x + 440 y = \frac{12489}{125}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 20 y + 90 z = \frac{17}{50}$$
$$20 x + 90 y + 440 z = \frac{6051}{500}$$
$$90 x + 440 y + 2274 z = \frac{12489}{125}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90 & \frac{17}{50}\\20 & 90 & 440 & \frac{6051}{500}\\90 & 440 & 2274 & \frac{12489}{125}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\20\\90\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90 & \frac{17}{50}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 10 & 80 & - \frac{34}{25} + \frac{6051}{500}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90 & \frac{17}{50}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\90 & 440 & 2274 & \frac{12489}{125}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 80 & 654 & - \frac{153}{25} + \frac{12489}{125}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 80 & 654 & \frac{11724}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 20 & 90 & \frac{17}{50}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\0 & 80 & 654 & \frac{11724}{125}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}20\\10\\80\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -70 & - \frac{5371}{250} + \frac{17}{50}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & -70 & - \frac{2643}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -70 & - \frac{2643}{125}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\0 & 80 & 654 & \frac{11724}{125}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 14 & - \frac{10742}{125} + \frac{11724}{125}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -70 & - \frac{2643}{125}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-70\\80\\14\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & - \frac{2643}{125} - - \frac{982}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & \frac{2267}{125}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & \frac{2267}{125}\\0 & 10 & 80 & \frac{5371}{500}\\0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 10 & 0 & - \frac{7856}{175} + \frac{5371}{500}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 10 & 0 & - \frac{119523}{3500}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 0 & \frac{2267}{125}\\0 & 10 & 0 & - \frac{119523}{3500}\\0 & 0 & 14 & \frac{982}{125}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - \frac{2267}{125} = 0$$
$$10 x_{2} + \frac{119523}{3500} = 0$$
$$14 x_{3} - \frac{982}{125} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{2267}{625}$$
$$x_{2} = - \frac{119523}{35000}$$
$$x_{3} = \frac{491}{875}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 3.627200000000004 y1 = -3.414942857142859 z1 = 0.5611428571428574