4*x-y=8 x+y=7
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
4*x - y = 8
$$4 x - y = 8$$
x + y = 7
$$x + y = 7$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - y = 8$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = - -1 y + 8$$
$$4 x = y + 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(y + 8\right)$$
$$x = \frac{y}{4} + 2$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x + y = 7$$
Получим:
$$y + \frac{y}{4} + 2 = 7$$
$$\frac{5 y}{4} + 2 = 7$$
Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 y}{4} = 5$$
$$\frac{5 y}{4} = 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{5}{4} y}{\frac{5}{4}} = 4$$
$$y = 4$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{4} + 2$$
то
$$x = \frac{4}{4} + 2$$
$$x = 3$$
Ответ:
$$x = 3$$
$$y = 4$$
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - y = 8$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = - -1 y + 8$$
$$4 x = y + 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(y + 8\right)$$
$$x = \frac{y}{4} + 2$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x + y = 7$$
Получим:
$$y + \frac{y}{4} + 2 = 7$$
$$\frac{5 y}{4} + 2 = 7$$
Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 y}{4} = 5$$
$$\frac{5 y}{4} = 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{5}{4} y}{\frac{5}{4}} = 4$$
$$y = 4$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{4} + 2$$
то
$$x = \frac{4}{4} + 2$$
$$x = 3$$
Ответ:
$$x = 3$$
$$y = 4$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
=
$$3$$
=
3
$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
4
Метод Крамера
[TeX]
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & -1\\7 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 8\\1 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x + y = 7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & -1\\7 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 8\\1 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -1 & 8\\1 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -1 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{4} + 1 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{4} & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -1 & 8\\0 & \frac{5}{4} & 5\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{4} & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\\0 & \frac{5}{4} & 5\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 12 = 0$$
$$\frac{5 x_{2}}{4} - 5 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - y = 8$$
$$x + y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -1 & 8\\1 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -1 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{4} + 1 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{4} & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -1 & 8\\0 & \frac{5}{4} & 5\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{4} & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 12\\0 & \frac{5}{4} & 5\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 12 = 0$$
$$\frac{5 x_{2}}{4} - 5 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 3.00000000000000 y1 = 4.00000000000000