3*x-7*y=1 2*x+3*y=16

Вы ввели

3*x - 7*y = 1

$$3 x - 7 y = 1$$

2*x + 3*y = 16

$$2 x + 3 y = 16$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 3 y = 16$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x - 7 y = 1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x - 7 y + 7 y = - -1 \cdot 7 y + 1$$
$$3 x = 7 y + 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(7 y + 1\right)$$
$$x = \frac{7 y}{3} + \frac{1}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 3 y = 16$$
Получим:
$$3 y + 2 \left(\frac{7 y}{3} + \frac{1}{3}\right) = 16$$
$$\frac{23 y}{3} + \frac{2}{3} = 16$$
Перенесем свободное слагаемое 2/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{23 y}{3} = \frac{46}{3}$$
$$\frac{23 y}{3} = \frac{46}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{23}{3} y}{\frac{23}{3}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = \frac{7 y}{3} + \frac{1}{3}$$
то
$$x = \frac{1}{3} + \frac{14}{3}$$
$$x = 5$$

Ответ:
$$x = 5$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$3 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 3 y = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 3 y = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - 7 x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -7\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 23$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -7\\16 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{2} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\2 & 16\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 3 y = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 3 y = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -7 & 1\\2 & 3 & 16\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -7 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 - - \frac{14}{3} & - \frac{2}{3} + 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{23}{3} & \frac{46}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -7 & 1\\0 & \frac{23}{3} & \frac{46}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-7\\\frac{23}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{23}{3} & \frac{46}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 15\\0 & \frac{23}{3} & \frac{46}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 15 = 0$$
$$\frac{23 x_{2}}{3} - \frac{46}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

x1 = 5.00000000000000
y1 = 2.00000000000000