Дана система ур-ний $$3 x - 7 y = 1$$ $$2 x + 3 y = 16$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$3 x - 7 y = 1$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$3 x - 7 y + 7 y = - -1 \cdot 7 y + 1$$ $$3 x = 7 y + 1$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(7 y + 1\right)$$ $$x = \frac{7 y}{3} + \frac{1}{3}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$2 x + 3 y = 16$$ Получим: $$3 y + 2 \left(\frac{7 y}{3} + \frac{1}{3}\right) = 16$$ $$\frac{23 y}{3} + \frac{2}{3} = 16$$ Перенесем свободное слагаемое 2/3 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{23 y}{3} = \frac{46}{3}$$ $$\frac{23 y}{3} = \frac{46}{3}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{23}{3} y}{\frac{23}{3}} = 2$$ $$y = 2$$ Т.к. $$x = \frac{7 y}{3} + \frac{1}{3}$$ то $$x = \frac{1}{3} + \frac{14}{3}$$ $$x = 5$$
Ответ: $$x = 5$$ $$y = 2$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 5$$ = $$5$$ =
5
$$y_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
Метод Крамера
$$3 x - 7 y = 1$$ $$2 x + 3 y = 16$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x - 7 y = 1$$ $$2 x + 3 y = 16$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - 7 x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -7\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 23$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -7\\16 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 5$$ $$x_{2} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\2 & 16\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$3 x - 7 y = 1$$ $$2 x + 3 y = 16$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x - 7 y = 1$$ $$2 x + 3 y = 16$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 & -7 & 1\\2 & 3 & 16\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}3 & -7 & 1\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 3 - - \frac{14}{3} & - \frac{2}{3} + 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{23}{3} & \frac{46}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & -7 & 1\\0 & \frac{23}{3} & \frac{46}{3}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-7\\\frac{23}{3}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{23}{3} & \frac{46}{3}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 15\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 15\\0 & \frac{23}{3} & \frac{46}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$3 x_{1} - 15 = 0$$ $$\frac{23 x_{2}}{3} - \frac{46}{3} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 5$$ $$x_{2} = 2$$