8*x+6*y=7 5*x-2*y=13
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
8*x + 6*y = 7
$$8 x + 6 y = 7$$
5*x - 2*y = 13
$$5 x - 2 y = 13$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x + 6 y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$8 x = - 6 y + 7$$
$$8 x = - 6 y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(- 6 y + 7\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 2 y = 13$$
Получим:
$$- 2 y + 5 \left(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}\right) = 13$$
$$- \frac{23 y}{4} + \frac{35}{8} = 13$$
Перенесем свободное слагаемое 35/8 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{23 y}{4} = \frac{69}{8}$$
$$- \frac{23 y}{4} = \frac{69}{8}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{23}{4} y}{- \frac{23}{4}} = - \frac{3}{2}$$
$$y = - \frac{3}{2}$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}$$
то
$$x = \frac{7}{8} - - \frac{9}{8}$$
$$x = 2$$
Ответ:
$$x = 2$$
$$y = - \frac{3}{2}$$
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x + 6 y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$8 x = - 6 y + 7$$
$$8 x = - 6 y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(- 6 y + 7\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 2 y = 13$$
Получим:
$$- 2 y + 5 \left(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}\right) = 13$$
$$- \frac{23 y}{4} + \frac{35}{8} = 13$$
Перенесем свободное слагаемое 35/8 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{23 y}{4} = \frac{69}{8}$$
$$- \frac{23 y}{4} = \frac{69}{8}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{23}{4} y}{- \frac{23}{4}} = - \frac{3}{2}$$
$$y = - \frac{3}{2}$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}$$
то
$$x = \frac{7}{8} - - \frac{9}{8}$$
$$x = 2$$
Ответ:
$$x = 2$$
$$y = - \frac{3}{2}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$y_{1} = - \frac{3}{2}$$
=
$$- \frac{3}{2}$$
=
=
$$2$$
=
2
$$y_{1} = - \frac{3}{2}$$
=
$$- \frac{3}{2}$$
=
-1.5
Метод Крамера
[TeX]
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 x_{1} + 6 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 6\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -46$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{46} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 6\\13 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{46} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 7\\5 & 13\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{3}{2}$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 x_{1} + 6 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 6\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -46$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{46} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 6\\13 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{46} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 7\\5 & 13\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{3}{2}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\\5 & -2 & 13\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{4} - 2 & - \frac{35}{8} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\\0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\- \frac{23}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\\0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} - 16 = 0$$
$$- \frac{23 x_{2}}{4} - \frac{69}{8} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\\5 & -2 & 13\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{4} - 2 & - \frac{35}{8} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\\0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\- \frac{23}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\\0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} - 16 = 0$$
$$- \frac{23 x_{2}}{4} - \frac{69}{8} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 2.00000000000000 y1 = -1.50000000000000