8*x+6*y=7 5*x-2*y=13

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

8*x + 6*y = 7

$$8 x + 6 y = 7$$

5*x - 2*y = 13

$$5 x - 2 y = 13$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x + 6 y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$8 x = - 6 y + 7$$
$$8 x = - 6 y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(- 6 y + 7\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 2 y = 13$$
Получим:
$$- 2 y + 5 \left(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}\right) = 13$$
$$- \frac{23 y}{4} + \frac{35}{8} = 13$$
Перенесем свободное слагаемое 35/8 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{23 y}{4} = \frac{69}{8}$$
$$- \frac{23 y}{4} = \frac{69}{8}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{23}{4} y}{- \frac{23}{4}} = - \frac{3}{2}$$
$$y = - \frac{3}{2}$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}$$
то
$$x = \frac{7}{8} - - \frac{9}{8}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = - \frac{3}{2}$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = - \frac{3}{2}$$
=
$$- \frac{3}{2}$$
=

-1.5

Метод Крамера

[TeX]

$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 x_{1} + 6 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 6\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -46$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{46} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 6\\13 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{46} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 7\\5 & 13\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{3}{2}$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 x + 6 y = 7$$
$$5 x - 2 y = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\\5 & -2 & 13\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{4} - 2 & - \frac{35}{8} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\\0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\- \frac{23}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\\0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$8 x_{1} - 16 = 0$$
$$- \frac{23 x_{2}}{4} - \frac{69}{8} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 2.00000000000000
y1 = -1.50000000000000