Дана система ур-ний $$8 x + 6 y = 7$$ $$5 x - 2 y = 13$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$8 x + 6 y = 7$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$8 x = - 6 y + 7$$ $$8 x = - 6 y + 7$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} \left(- 6 y + 7\right)$$ $$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$5 x - 2 y = 13$$ Получим: $$- 2 y + 5 \left(- \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}\right) = 13$$ $$- \frac{23 y}{4} + \frac{35}{8} = 13$$ Перенесем свободное слагаемое 35/8 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{23 y}{4} = \frac{69}{8}$$ $$- \frac{23 y}{4} = \frac{69}{8}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{23}{4} y}{- \frac{23}{4}} = - \frac{3}{2}$$ $$y = - \frac{3}{2}$$ Т.к. $$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{7}{8}$$ то $$x = \frac{7}{8} - - \frac{9}{8}$$ $$x = 2$$
Ответ: $$x = 2$$ $$y = - \frac{3}{2}$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$y_{1} = - \frac{3}{2}$$ = $$- \frac{3}{2}$$ =
-1.5
Метод Крамера
$$8 x + 6 y = 7$$ $$5 x - 2 y = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$8 x + 6 y = 7$$ $$5 x - 2 y = 13$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}8 x_{1} + 6 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 6\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -46$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{46} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 6\\13 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = - \frac{1}{46} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 7\\5 & 13\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{3}{2}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$8 x + 6 y = 7$$ $$5 x - 2 y = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$8 x + 6 y = 7$$ $$5 x - 2 y = 13$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\\5 & -2 & 13\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{4} - 2 & - \frac{35}{8} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}8 & 6 & 7\\0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}6\\- \frac{23}{4}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}8 & 0 & 16\\0 & - \frac{23}{4} & \frac{69}{8}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$8 x_{1} - 16 = 0$$ $$- \frac{23 x_{2}}{4} - \frac{69}{8} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = - \frac{3}{2}$$