7*a-b-7*c-9*d=-51 -2*a+7*b+3*c+5*d=-21 -a-8*b+c-d=46 4*a-2*b-3*c-4*d=-26

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

7*a - b - 7*c - 9*d = -51

$$- 9 d + - 7 c + 7 a - b = -51$$

-2*a + 7*b + 3*c + 5*d = -21

$$5 d + 3 c + - 2 a + 7 b = -21$$

-a - 8*b + c - d = 46

$$- d + c + - a - 8 b = 46$$

4*a - 2*b - 3*c - 4*d = -26

$$- 4 d + - 3 c + 4 a - 2 b = -26$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$c_{1} = - \frac{208}{57}$$
=
$$- \frac{208}{57}$$
=

-3.64912280701754

$$b_{1} = - \frac{271}{57}$$
=
$$- \frac{271}{57}$$
=

-4.75438596491228

$$a_{1} = - \frac{662}{57}$$
=
$$- \frac{662}{57}$$
=

-11.6140350877193

$$d_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

Метод Крамера

[TeX]

$$- 9 d + - 7 c + 7 a - b = -51$$
$$5 d + 3 c + - 2 a + 7 b = -21$$
$$- d + c + - a - 8 b = 46$$
$$- 4 d + - 3 c + 4 a - 2 b = -26$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 a - b - 7 c - 9 d = -51$$
$$- 2 a + 7 b + 3 c + 5 d = -21$$
$$- a - 8 b + c - d = 46$$
$$4 a - 2 b - 3 c - 4 d = -26$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 9 x_{4} + - 7 x_{3} + 7 x_{1} - x_{2}\\5 x_{4} + 3 x_{3} + - 2 x_{1} + 7 x_{2}\\- x_{4} + x_{3} + - x_{1} - 8 x_{2}\\- 4 x_{4} + - 3 x_{3} + 4 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-51\\-21\\46\\-26\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -1 & -7 & -9\\-2 & 7 & 3 & 5\\-1 & -8 & 1 & -1\\4 & -2 & -3 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 57$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-51 & -1 & -7 & -9\\-21 & 7 & 3 & 5\\46 & -8 & 1 & -1\\-26 & -2 & -3 & -4\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{662}{57}$$
$$x_{2} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -51 & -7 & -9\\-2 & -21 & 3 & 5\\-1 & 46 & 1 & -1\\4 & -26 & -3 & -4\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{271}{57}$$
$$x_{3} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -1 & -51 & -9\\-2 & 7 & -21 & 5\\-1 & -8 & 46 & -1\\4 & -2 & -26 & -4\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{208}{57}$$
$$x_{4} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -1 & -7 & -51\\-2 & 7 & 3 & -21\\-1 & -8 & 1 & 46\\4 & -2 & -3 & -26\end{matrix}\right] \right )} = 0$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$- 9 d + - 7 c + 7 a - b = -51$$
$$5 d + 3 c + - 2 a + 7 b = -21$$
$$- d + c + - a - 8 b = 46$$
$$- 4 d + - 3 c + 4 a - 2 b = -26$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 a - b - 7 c - 9 d = -51$$
$$- 2 a + 7 b + 3 c + 5 d = -21$$
$$- a - 8 b + c - d = 46$$
$$4 a - 2 b - 3 c - 4 d = -26$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -7 & -9 & -51\\-2 & 7 & 3 & 5 & -21\\-1 & -8 & 1 & -1 & 46\\4 & -2 & -3 & -4 & -26\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\-2\\-1\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -7 & -9 & -51\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{2}{7} + 7 & 1 & - \frac{18}{7} + 5 & -21 - \frac{102}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{47}{7} & 1 & \frac{17}{7} & - \frac{249}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -7 & -9 & -51\\0 & \frac{47}{7} & 1 & \frac{17}{7} & - \frac{249}{7}\\-1 & -8 & 1 & -1 & 46\\4 & -2 & -3 & -4 & -26\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -8 - \frac{1}{7} & 0 & - \frac{9}{7} - 1 & - \frac{51}{7} + 46\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -7 & -9 & -51\\0 & \frac{47}{7} & 1 & \frac{17}{7} & - \frac{249}{7}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\4 & -2 & -3 & -4 & -26\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 - - \frac{4}{7} & 1 & -4 - - \frac{36}{7} & -26 - - \frac{204}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{10}{7} & 1 & \frac{8}{7} & \frac{22}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -7 & -9 & -51\\0 & \frac{47}{7} & 1 & \frac{17}{7} & - \frac{249}{7}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\0 & - \frac{10}{7} & 1 & \frac{8}{7} & \frac{22}{7}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{47}{7}\\- \frac{57}{7}\\- \frac{10}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & -9 - - \frac{16}{57} & -51 - \frac{271}{57}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & - \frac{497}{57} & - \frac{3178}{57}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & - \frac{497}{57} & - \frac{3178}{57}\\0 & \frac{47}{7} & 1 & \frac{17}{7} & - \frac{249}{7}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\0 & - \frac{10}{7} & 1 & \frac{8}{7} & \frac{22}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{47}{7} + \frac{47}{7} & 1 & - \frac{752}{399} + \frac{17}{7} & - \frac{249}{7} - - \frac{12737}{399}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & \frac{31}{57} & - \frac{208}{57}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & - \frac{497}{57} & - \frac{3178}{57}\\0 & 0 & 1 & \frac{31}{57} & - \frac{208}{57}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\0 & - \frac{10}{7} & 1 & \frac{8}{7} & \frac{22}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{10}{7} - - \frac{10}{7} & 1 & - \frac{-160}{399} + \frac{8}{7} & - \frac{2710}{399} + \frac{22}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & \frac{88}{57} & - \frac{208}{57}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -7 & - \frac{497}{57} & - \frac{3178}{57}\\0 & 0 & 1 & \frac{31}{57} & - \frac{208}{57}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\0 & 0 & 1 & \frac{88}{57} & - \frac{208}{57}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-7\\1\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & \frac{31}{57} & - \frac{208}{57}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & - \frac{497}{57} - - \frac{217}{57} & - \frac{3178}{57} - \frac{1456}{57}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & - \frac{280}{57} & - \frac{4634}{57}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & - \frac{280}{57} & - \frac{4634}{57}\\0 & 0 & 1 & \frac{31}{57} & - \frac{208}{57}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\0 & 0 & 1 & \frac{88}{57} & - \frac{208}{57}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{31}{57} + \frac{88}{57} & - \frac{208}{57} - - \frac{208}{57}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & - \frac{280}{57} & - \frac{4634}{57}\\0 & 0 & 1 & \frac{31}{57} & - \frac{208}{57}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{280}{57}\\\frac{31}{57}\\- \frac{16}{7}\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & - \frac{280}{57} - - \frac{280}{57} & - \frac{4634}{57}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0 & - \frac{4634}{57}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0 & - \frac{4634}{57}\\0 & 0 & 1 & \frac{31}{57} & - \frac{208}{57}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & - \frac{31}{57} + \frac{31}{57} & - \frac{208}{57}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{208}{57}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0 & - \frac{4634}{57}\\0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{208}{57}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{57}{7} & 0 & - \frac{16}{7} - - \frac{16}{7} & \frac{271}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{57}{7} & 0 & 0 & \frac{271}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0 & - \frac{4634}{57}\\0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{208}{57}\\0 & - \frac{57}{7} & 0 & 0 & \frac{271}{7}\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} + \frac{4634}{57} = 0$$
$$x_{3} + \frac{208}{57} = 0$$
$$- \frac{57 x_{2}}{7} - \frac{271}{7} = 0$$
$$x_{4} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{662}{57}$$
$$x_{3} = - \frac{208}{57}$$
$$x_{2} = - \frac{271}{57}$$
$$x_{4} = 0$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

a1 = -11.6140350877193
b1 = -4.754385964912281
c1 = -3.649122807017544
d1 = 3.101927297073854e-25

a2 = -11.6140350877193
b2 = -4.754385964912281
c2 = -3.649122807017544
d2 = -2.584939414228211e-25

a3 = -11.6140350877193
b3 = -4.754385964912281
c3 = -3.649122807017544
d3 = 1.033975765691285e-25

a4 = -11.6140350877193
b4 = -4.754385964912281
c4 = -3.649122807017544
d4 = -2.067951531382569e-25

a5 = -11.6140350877193
b5 = -4.754385964912281
c5 = -3.649122807017544
d5 = -5.169878828456423e-25

a6 = -11.6140350877193
b6 = -4.754385964912281
c6 = -3.649122807017544
d6 = -5.169878828456423e-26

a7 = -11.6140350877193
b7 = -4.754385964912281
c7 = -3.649122807017544
d7 = 1.550963648536927e-25

a8 = -11.6140350877193
b8 = -4.754385964912281
c8 = -3.649122807017544
d8 = -4.652890945610781e-25

a9 = -11.6140350877193
b9 = -4.754385964912281
c9 = -3.649122807017544
d9 = 2.584939414228211e-25

a10 = -11.6140350877193
b10 = -4.754385964912281
c10 = -3.649122807017544
d10 = 2.067951531382569e-25

a11 = -11.6140350877193
b11 = -4.754385964912281
c11 = -3.649122807017544
d11 = -1.033975765691285e-25

a12 = -11.6140350877193
b12 = -4.754385964912281
c12 = -3.649122807017544
d12 = -6.203854594147708e-25

a13 = -11.6140350877193
b13 = -4.754385964912281
c13 = -3.649122807017544
d13 = 6.203854594147708e-25

a14 = -11.6140350877193
b14 = -4.754385964912281
c14 = -3.649122807017544
d14 = 0.0

a15 = -11.6140350877193
b15 = -4.754385964912281
c15 = -3.649122807017544
d15 = 7.754818242684634e-26

a16 = -11.6140350877193
b16 = -4.754385964912281
c16 = -3.649122807017544
d16 = -1.550963648536927e-25

a17 = -11.6140350877193
b17 = -4.754385964912281
c17 = -3.649122807017544
d17 = 1.033975765691285e-24

a18 = -11.6140350877193
b18 = -4.754385964912281
c18 = -3.649122807017544
d18 = 5.169878828456423e-26