-2*x+3*y+6*z=4 -3*x-4*y+2*z=8 -x-3*y-z=1
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
-2*x + 3*y + 6*z = 4
$$6 z + - 2 x + 3 y = 4$$
-3*x - 4*y + 2*z = 8
$$2 z + - 3 x - 4 y = 8$$
-x - 3*y - z = 1
$$- z + - x - 3 y = 1$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 10$$
=
$$10$$
=
$$z_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
$$y_{1} = -6$$
=
$$-6$$
=
=
$$10$$
=
10
$$z_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
7
$$y_{1} = -6$$
=
$$-6$$
=
-6
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$6 z + - 2 x + 3 y = 4$$
$$2 z + - 3 x - 4 y = 8$$
$$- z + - x - 3 y = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 2 x + 3 y + 6 z = 4$$
$$- 3 x - 4 y + 2 z = 8$$
$$- x - 3 y - z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\-3 & -4 & 2 & 8\\-1 & -3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\-3\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} - 4 & -7 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\-1 & -3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - \frac{3}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{17}{2}\\- \frac{9}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & - \frac{42}{17} + 6 & - \frac{-12}{17} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} - - \frac{9}{2} & -4 - - \frac{63}{17} & - \frac{18}{17} - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{60}{17}\\-7\\- \frac{5}{17}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & - \frac{60}{17} + \frac{60}{17} & - \frac{420}{17} + \frac{80}{17}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\\0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 2 x_{1} + 20 = 0$$
$$- \frac{17 x_{2}}{2} - 51 = 0$$
$$- \frac{5 x_{3}}{17} + \frac{35}{17} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = 7$$
$$6 z + - 2 x + 3 y = 4$$
$$2 z + - 3 x - 4 y = 8$$
$$- z + - x - 3 y = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 2 x + 3 y + 6 z = 4$$
$$- 3 x - 4 y + 2 z = 8$$
$$- x - 3 y - z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\-3 & -4 & 2 & 8\\-1 & -3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\-3\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} - 4 & -7 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\-1 & -3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - \frac{3}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{17}{2}\\- \frac{9}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & - \frac{42}{17} + 6 & - \frac{-12}{17} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} - - \frac{9}{2} & -4 - - \frac{63}{17} & - \frac{18}{17} - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{60}{17}\\-7\\- \frac{5}{17}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & - \frac{60}{17} + \frac{60}{17} & - \frac{420}{17} + \frac{80}{17}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\\0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 2 x_{1} + 20 = 0$$
$$- \frac{17 x_{2}}{2} - 51 = 0$$
$$- \frac{5 x_{3}}{17} + \frac{35}{17} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = 7$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 10.0000000000000 y1 = -6.00000000000000 z1 = 7.00000000000000