-2*x+3*y+6*z=4 -3*x-4*y+2*z=8 -x-3*y-z=1

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

-2*x + 3*y + 6*z = 4

$$6 z + - 2 x + 3 y = 4$$

-3*x - 4*y + 2*z = 8

$$2 z + - 3 x - 4 y = 8$$

-x - 3*y - z = 1

$$- z + - x - 3 y = 1$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 10$$
=
$$10$$
=

10

$$z_{1} = 7$$
=
$$7$$
=

7

$$y_{1} = -6$$
=
$$-6$$
=

-6

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$6 z + - 2 x + 3 y = 4$$
$$2 z + - 3 x - 4 y = 8$$
$$- z + - x - 3 y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 2 x + 3 y + 6 z = 4$$
$$- 3 x - 4 y + 2 z = 8$$
$$- x - 3 y - z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\-3 & -4 & 2 & 8\\-1 & -3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\-3\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} - 4 & -7 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\-1 & -3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - \frac{3}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 6 & 4\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{17}{2}\\- \frac{9}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & - \frac{42}{17} + 6 & - \frac{-12}{17} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & - \frac{9}{2} & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{2} - - \frac{9}{2} & -4 - - \frac{63}{17} & - \frac{18}{17} - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & \frac{60}{17} & \frac{80}{17}\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{60}{17}\\-7\\- \frac{5}{17}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & - \frac{60}{17} + \frac{60}{17} & - \frac{420}{17} + \frac{80}{17}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\\0 & - \frac{17}{2} & -7 & 2\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -20\\0 & - \frac{17}{2} & 0 & 51\\0 & 0 & - \frac{5}{17} & - \frac{35}{17}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 2 x_{1} + 20 = 0$$
$$- \frac{17 x_{2}}{2} - 51 = 0$$
$$- \frac{5 x_{3}}{17} + \frac{35}{17} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = 7$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 10.0000000000000
y1 = -6.00000000000000
z1 = 7.00000000000000