9*y-4*x=-13 -4*x-9*y=-67

Вы ввели

[LaTeX]

9*y - 4*x = -13

$$- 4 x + 9 y = -13$$

-4*x - 9*y = -67

$$- 4 x - 9 y = -67$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$- 4 x + 9 y = -13$$
$$- 4 x - 9 y = -67$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$- 4 x + 9 y = -13$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- 4 x = - 4 x - - 4 x - 9 y - 13$$
$$- 4 x = - 9 y - 13$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{1}{-4} \left(-1 \cdot 4 x\right) = \frac{1}{-4} \left(- 9 y - 13\right)$$
$$x = \frac{9 y}{4} + \frac{13}{4}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 4 x - 9 y = -67$$
Получим:
$$- 9 y - 4 \left(\frac{9 y}{4} + \frac{13}{4}\right) = -67$$
$$- 18 y - 13 = -67$$
Перенесем свободное слагаемое -13 из левой части в правую со сменой знака
$$- 18 y = -54$$
$$- 18 y = -54$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-18} \left(-1 \cdot 18 y\right) = 3$$
$$y = 3$$
Т.к.
$$x = \frac{9 y}{4} + \frac{13}{4}$$
то
$$x = \frac{13}{4} + \frac{27}{4}$$
$$x = 10$$

Ответ:
$$x = 10$$
$$y = 3$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$x_{1} = 10$$
=
$$10$$
=

10

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

[LaTeX]

$$- 4 x + 9 y = -13$$
$$- 4 x - 9 y = -67$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 4 x + 9 y = -13$$
$$- 4 x - 9 y = -67$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 4 x_{1} + 9 x_{2}\\- 4 x_{1} - 9 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-13\\-67\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-4 & 9\\-4 & -9\end{matrix}\right] \right )} = 72$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{72} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & 9\\-67 & -9\end{matrix}\right] \right )} = 10$$
$$x_{2} = \frac{1}{72} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-4 & -13\\-4 & -67\end{matrix}\right] \right )} = 3$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$- 4 x + 9 y = -13$$
$$- 4 x - 9 y = -67$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 4 x + 9 y = -13$$
$$- 4 x - 9 y = -67$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-4 & 9 & -13\\-4 & -9 & -67\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-4 & 9 & -13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -18 & -54\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -18 & -54\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-4 & 9 & -13\\0 & -18 & -54\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -18 & -54\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-4 & 0 & -40\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-4 & 0 & -40\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-4 & 0 & -40\\0 & -18 & -54\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 4 x_{1} + 40 = 0$$
$$- 18 x_{2} + 54 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 3$$

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = 10.0000000000000
y1 = 3.00000000000000