2*(x+y)=x-y+5 3*(x+y)=x+y+8
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*(x + y) = x - y + 5
$$2 \left(x + y\right) = x - y + 5$$
3*(x + y) = x + y + 8
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 \left(x + y\right) = x - y + 5$$
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 \left(x + y\right) = x - y + 5$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- x + 2 \left(x + y\right) = - y + 5$$
$$x + 2 y = - y + 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 2 y + - y + 5$$
$$x = - 3 y + 5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Получим:
$$3 \left(y + - 3 y + 5\right) = y + - 3 y + 5 + 8$$
$$- 6 y + 15 = - 2 y + 13$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 \cdot 2 y + - 6 y + 15 = 13$$
$$- 4 y + 15 = 13$$
Перенесем свободное слагаемое 15 из левой части в правую со сменой знака
$$- 4 y = -2$$
$$- 4 y = -2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-4} \left(-1 \cdot 4 y\right) = \frac{1}{2}$$
$$y = \frac{1}{2}$$
Т.к.
$$x = - 3 y + 5$$
то
$$x = - \frac{3}{2} + 5$$
$$x = \frac{7}{2}$$
Ответ:
$$x = \frac{7}{2}$$
$$y = \frac{1}{2}$$
$$2 \left(x + y\right) = x - y + 5$$
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 \left(x + y\right) = x - y + 5$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- x + 2 \left(x + y\right) = - y + 5$$
$$x + 2 y = - y + 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 2 y + - y + 5$$
$$x = - 3 y + 5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Получим:
$$3 \left(y + - 3 y + 5\right) = y + - 3 y + 5 + 8$$
$$- 6 y + 15 = - 2 y + 13$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 \cdot 2 y + - 6 y + 15 = 13$$
$$- 4 y + 15 = 13$$
Перенесем свободное слагаемое 15 из левой части в правую со сменой знака
$$- 4 y = -2$$
$$- 4 y = -2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-4} \left(-1 \cdot 4 y\right) = \frac{1}{2}$$
$$y = \frac{1}{2}$$
Т.к.
$$x = - 3 y + 5$$
то
$$x = - \frac{3}{2} + 5$$
$$x = \frac{7}{2}$$
Ответ:
$$x = \frac{7}{2}$$
$$y = \frac{1}{2}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
=
$$\frac{7}{2}$$
=
$$y_{1} = \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
=
=
$$\frac{7}{2}$$
=
3.5
$$y_{1} = \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
=
0.5
Метод Крамера
[TeX]
$$2 \left(x + y\right) = x - y + 5$$
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y = 5$$
$$2 x + 2 y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 3 x_{2}\\2 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\2 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 3\\8 & 2\end{matrix}\right] \right )} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\2 & 8\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{2}$$
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y = 5$$
$$2 x + 2 y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 3 x_{2}\\2 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\2 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 3\\8 & 2\end{matrix}\right] \right )} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\2 & 8\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{2}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 \left(x + y\right) = x - y + 5$$
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y = 5$$
$$2 x + 2 y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5\\2 & 2 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5\\0 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{3}{2} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{2}\\0 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{7}{2} = 0$$
$$- 4 x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$2 \left(x + y\right) = x - y + 5$$
$$3 \left(x + y\right) = x + y + 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y = 5$$
$$2 x + 2 y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5\\2 & 2 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5\\0 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{3}{2} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{7}{2}\\0 & -4 & -2\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{7}{2} = 0$$
$$- 4 x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 3.50000000000000 y1 = 0.500000000000000