3*x+2*y=4 x-3*y=5

Вы ввели

[LaTeX]

3*x + 2*y = 4

$$3 x + 2 y = 4$$

x - 3*y = 5

$$x - 3 y = 5$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$3 x + 2 y = 4$$
$$x - 3 y = 5$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + 2 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - 2 y + 4$$
$$3 x = - 2 y + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 2 y + 4\right)$$
$$x = - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - 3 y = 5$$
Получим:
$$- 3 y + - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3} = 5$$
$$- \frac{11 y}{3} + \frac{4}{3} = 5$$
Перенесем свободное слагаемое 4/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{11 y}{3} = \frac{11}{3}$$
$$- \frac{11 y}{3} = \frac{11}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{11}{3} y}{- \frac{11}{3}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$$
то
$$x = - \frac{-2}{3} + \frac{4}{3}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = -1$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

[LaTeX]

$$3 x + 2 y = 4$$
$$x - 3 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y = 4$$
$$x - 3 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 2 x_{2}\\x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 2\\1 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 2\\5 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\1 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$3 x + 2 y = 4$$
$$x - 3 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y = 4$$
$$x - 3 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\\1 & -3 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{3} & \frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\\0 & - \frac{11}{3} & \frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\- \frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{3} & \frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\\0 & - \frac{11}{3} & \frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 6 = 0$$
$$- \frac{11 x_{2}}{3} - \frac{11}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = 2.00000000000000
y1 = -1.00000000000000