3*x-y+z-4=0 x+2*y-z-4=0 2*x+y+2*z-16=0 Решение
$$z + 3 x - y - 4 = 0$$
$$- z + x + 2 y - 4 = 0$$
$$2 z + 2 x + y - 16 = 0$$
$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1 $$z_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
5 $$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
4
$$z + 3 x - y - 4 = 0$$ $$- z + x + 2 y - 4 = 0$$ $$2 z + 2 x + y - 16 = 0$$ Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x - y + z = 4$$ $$x + 2 y - z = 4$$ $$2 x + y + 2 z = 16$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{3} + 3 x_{1} - x_{2}\\- x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\2 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\4\\16\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая формуA*x = B Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так: Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1\\1 & 2 & -1\\2 & 1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 16$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1 & 1\\4 & 2 & -1\\16 & 1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$ $$x_{2} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4 & 1\\1 & 4 & -1\\2 & 16 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 4$$ $$x_{3} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & 4\\1 & 2 & 4\\2 & 1 & 16\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Дана система ур-ний $$z + 3 x - y - 4 = 0$$ $$- z + x + 2 y - 4 = 0$$ $$2 z + 2 x + y - 16 = 0$$ Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x - y + z = 4$$ $$x + 2 y - z = 4$$ $$2 x + y + 2 z = 16$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\1 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\1\\2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{3} + 2 & -1 - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\2 & 1 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$ Из 3 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-2}{3} + 1 & - \frac{2}{3} + 2 & - \frac{8}{3} + 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{7}{3}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{4}{7} + 1 & - \frac{-8}{7} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$ Из 3 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} & - \frac{-20}{21} + \frac{4}{3} & - \frac{40}{21} + \frac{40}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$ В 3 ом столбце $$\left[\begin{matrix}\frac{3}{7}\\- \frac{4}{3}\\\frac{16}{7}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 3 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 3 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{3}{7} + \frac{3}{7} & - \frac{15}{7} + \frac{36}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$ Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} - - \frac{4}{3} & \frac{8}{3} - - \frac{20}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & 0 & \frac{28}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\\0 & \frac{7}{3} & 0 & \frac{28}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$ Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$3 x_{1} - 3 = 0$$ $$\frac{7 x_{2}}{3} - \frac{28}{3} = 0$$ $$\frac{16 x_{3}}{7} - \frac{80}{7} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 1$$ $$x_{2} = 4$$ $$x_{3} = 5$$
x1 = 1.00000000000000
y1 = 4.00000000000000
z1 = 5.00000000000000