3*x-y+z-4=0 x+2*y-z-4=0 2*x+y+2*z-16=0
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
3*x - y + z - 4 = 0
$$z + 3 x - y - 4 = 0$$
x + 2*y - z - 4 = 0
$$- z + x + 2 y - 4 = 0$$
2*x + y + 2*z - 16 = 0
$$2 z + 2 x + y - 16 = 0$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
$$z_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
=
$$1$$
=
1
$$z_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
5
$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
4
Метод Крамера
[LaTeX]
$$z + 3 x - y - 4 = 0$$
$$- z + x + 2 y - 4 = 0$$
$$2 z + 2 x + y - 16 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y + z = 4$$
$$x + 2 y - z = 4$$
$$2 x + y + 2 z = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + 3 x_{1} - x_{2}\\- x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\2 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\4\\16\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1\\1 & 2 & -1\\2 & 1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 16$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1 & 1\\4 & 2 & -1\\16 & 1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4 & 1\\1 & 4 & -1\\2 & 16 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{3} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & 4\\1 & 2 & 4\\2 & 1 & 16\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$- z + x + 2 y - 4 = 0$$
$$2 z + 2 x + y - 16 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y + z = 4$$
$$x + 2 y - z = 4$$
$$2 x + y + 2 z = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + 3 x_{1} - x_{2}\\- x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\2 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\4\\16\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1\\1 & 2 & -1\\2 & 1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 16$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -1 & 1\\4 & 2 & -1\\16 & 1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4 & 1\\1 & 4 & -1\\2 & 16 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{3} = \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1 & 4\\1 & 2 & 4\\2 & 1 & 16\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$z + 3 x - y - 4 = 0$$
$$- z + x + 2 y - 4 = 0$$
$$2 z + 2 x + y - 16 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y + z = 4$$
$$x + 2 y - z = 4$$
$$2 x + y + 2 z = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\1 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{3} + 2 & -1 - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\2 & 1 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-2}{3} + 1 & - \frac{2}{3} + 2 & - \frac{8}{3} + 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{7}{3}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{4}{7} + 1 & - \frac{-8}{7} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} & - \frac{-20}{21} + \frac{4}{3} & - \frac{40}{21} + \frac{40}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{3}{7}\\- \frac{4}{3}\\\frac{16}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{3}{7} + \frac{3}{7} & - \frac{15}{7} + \frac{36}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} - - \frac{4}{3} & \frac{8}{3} - - \frac{20}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & 0 & \frac{28}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\\0 & \frac{7}{3} & 0 & \frac{28}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$\frac{7 x_{2}}{3} - \frac{28}{3} = 0$$
$$\frac{16 x_{3}}{7} - \frac{80}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 5$$
$$z + 3 x - y - 4 = 0$$
$$- z + x + 2 y - 4 = 0$$
$$2 z + 2 x + y - 16 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y + z = 4$$
$$x + 2 y - z = 4$$
$$2 x + y + 2 z = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\1 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-1}{3} + 2 & -1 - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\2 & 1 & 2 & 16\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-2}{3} + 1 & - \frac{2}{3} + 2 & - \frac{8}{3} + 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1 & 4\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{7}{3}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{4}{7} + 1 & - \frac{-8}{7} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} & - \frac{-20}{21} + \frac{4}{3} & - \frac{40}{21} + \frac{40}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{36}{7}\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{3}{7}\\- \frac{4}{3}\\\frac{16}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{3}{7} + \frac{3}{7} & - \frac{15}{7} + \frac{36}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\\0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{8}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & - \frac{4}{3} - - \frac{4}{3} & \frac{8}{3} - - \frac{20}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{3} & 0 & \frac{28}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\\0 & \frac{7}{3} & 0 & \frac{28}{3}\\0 & 0 & \frac{16}{7} & \frac{80}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$\frac{7 x_{2}}{3} - \frac{28}{3} = 0$$
$$\frac{16 x_{3}}{7} - \frac{80}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 5$$
Численный ответ
[LaTeX]
x1 = 1.00000000000000 y1 = 4.00000000000000 z1 = 5.00000000000000