$$9 y{\left(x \right)} - 24 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 16 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$16$$
Получим уравнение:
$$\frac{9 y{\left(x \right)}}{16} - \frac{3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = - \frac{3}{2}$$
$$q = \frac{9}{16}$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - \frac{3 k}{2} + \frac{9}{16} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корень этого ур-ния:
$$k_{1} = \frac{3}{4}$$
Т.к. корень характ. ур-ния один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $$k_{1} = \frac{3}{4}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{3 x}{4}} + C_{2} x e^{\frac{3 x}{4}}$$

$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{\frac{3 x}{4}}$$