$$- 3 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$2$$
Получим уравнение:
$$- \frac{3 y{\left(x \right)}}{2} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = \frac{1}{2}$$
$$q = - \frac{3}{2}$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + \frac{k}{2} - \frac{3}{2} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$k_{2} = 1$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{3 x}{2}} + C_{2} e^{x}$$

$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- \frac{3 x}{2}} + C_{2} e^{x}$$