Дифференциальное уравнение 4y’’-4y’+5y=0

-
+
С неизвестной функцией
(
)
Для задачи Коши
y
=
y’
=
y’’
=
y’’’
=
y’’’’
=
График
от
до

Решение

Вы ввели

$$5 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$4$$
Получим уравнение:
$$\frac{5 y{\left(x \right)}}{4} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = -1$$
$$q = \frac{5}{4}$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние
y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - k + \frac{5}{4} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = \frac{1}{2} - i$$
$$k_{2} = \frac{1}{2} + i$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{1}{2} - i\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{1}{2} + i\right)}$$

Ответ

$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}\right) e^{\frac{x}{2}}$$

Классификация

nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary

Еще ссылки

Решите дифференциальное уравнение 4y’’-4y’+5y=0 (4 у ’’ минус 4 у ’ плюс 5 у равно 0) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]:

Идентичные выражения:

4y’’-4y’+5y= ноль
4 у ’’ минус 4 у ’ плюс 5 у равно 0
4 у ’’ минус 4 у ’ плюс 5 у равно ноль
4y’’-4y’+5y=O

Похожие выражения:

Решите дифференциальное уравнение 4y’’-4y’+5y=0 (4 у ’’ минус 4 у ’ плюс 5 у равно 0) - различные методы решения и порядка дифференциальных уравнений [Есть ответ!]