Дифференциальное уравнение 4y"+25y=0

Вы ввели

    2                    
   d                     
4*---(y(x)) + 25*y(x) = 0
    2                    
  dx                     

$$25 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$4$$
Получим уравнение:
$$\frac{25 y{\left(x \right)}}{4} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = 0$$
$$q = \frac{25}{4}$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} + \frac{25}{4} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
$$k_{1} = - \frac{5 i}{2}$$
$$k_{2} = \frac{5 i}{2}$$
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни имеют чисто мнимый вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(\frac{5 x}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{5 x}{2} \right)}$$

Ответ

             /5*x\         /5*x\
y(x) = C1*sin|---| + C2*cos|---|
             \ 2 /         \ 2 /

$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(\frac{5 x}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{5 x}{2} \right)}$$

Классификация

nth linear constant coeff homogeneous

2nd power series ordinary