$$y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 9 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y'':
$$9$$
Получим уравнение:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y'' + p*y' + q*y = 0,

где
$$p = - \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{1}{9}$$
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Решим сначала соответствующее линейное однородное ур-ние

y'' + p*y' + q*y = 0

Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
$$k^{2} - \frac{2 k}{3} + \frac{1}{9} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное ур-ние
Корень этого ур-ния:
$$k_{1} = \frac{1}{3}$$
Т.к. корень характ. ур-ния один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Подставляем $$k_{1} = \frac{1}{3}$$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x}{3}} + C_{2} x e^{\frac{x}{3}}$$

$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{\frac{x}{3}}$$