$$\frac{d_{2} y}{dx^{3}} = f x$$

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y':
$$0$$
Получим уравнение:
y' = $$\tilde{\infty} \left(- \frac{d_{2} y}{dx^{3}} + f x\right)$$
Это дифф. уравнение вида:

y' = f(x)

Оно решается умножением обеих частей ур-ния на dx:

y'dx = f(x)dx, или

d(y) = f(x)dx

И взятием от обеих частей ур-ния интегралов:

∫ d(y) = ∫ f(x) dx

или

y = ∫ f(x) dx

В нашем случае,
f(x) = $$\tilde{\infty} \left(- \frac{d_{2} y}{dx^{3}} + f x\right)$$
Значит, решением будет
u = $$\int \tilde{\infty} \left(- \frac{d_{2} y}{dx^{3}} + f x\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла
или
u = $$\frac{\tilde{\infty} d_{2} x y}{dx^{3}} + \tilde{\infty} f x^{2}$$ + C1
где C1 - это постоянная, не зависящая от x

$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} x + \frac{f x^{3}}{6}$$